第一章 函数极限与连续

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

1

《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（a，b） 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的半开半闭区间，记作[a，b） 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的半开半闭区间，记作（a，b] 区间长度：b?a ② 无限区间

数集{xa?x???}记作[a，??）， 数集{xa?x???}记作（a，??） 数集{x???x?a}记作（??，a]， 数集{x???x?a}记作（??，a） 实数集R记作（??，??） （3）邻域

① 邻域：设a与?均为实数，且??0，则开区间（a??，a??）为点a的?邻域 记作U(a,?)，其中点a为邻域的中心，?为邻域的半径。 ② 去心邻域：在的?邻域中去掉点a后，称为点a的去心邻域，记作U(a,?) （二）函数的概念 1、函数的定义：

设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则f，使得对于每一个x?D，都有一个惟一的实数y与之对应，则称对应法则f是定义在D上的一个函数. 记作y?f(x)，其中x为自变量，y为因变量，习惯上y称是的函数。

定义域：使函数y?f(x)有意义的自变量的全体，即自变量x的取值范围D

函数值：当自变量x取定义域D内的某一定值x0时，按对应法则f所得的对应值y0 称 为函数y?f(x)在x?x0时的函数值，记作y0?f(x0)。

值 域：当自变量x取遍D中的一切数时，所对应的函数值y构成的集合，记作M， 即M??yy?f(x),x?D? 函数的二要素： 定义域、对应法则

。 2

《高等数学》（微积分）教案

【例1.1】 设f(x)?1 ，求（1）f(x?1)；（2）x?1??1??f?f???． ??x?? 答：（1）f(x?1)?11?；

(x?1)?1x?x????x?1?1x?1x?1?x?1 2x?1 （2）f?f????f???1????x??【例1.2】 设f(x?1)?x2?4x?3，求f(x)，f??.

2?1??x?1?1??1??1?答： f(x)?x2?2x?6，f??=???2???6?2(1?2x?6x2)．

x?x??x??x?【例2】 判断下列每组的两个函数是否相同

（1）y?2lnx,y?lnx2， （2） y?x,y?【例3】求下列函数的定义域：

x2 ?1,1?4?x； （2）f(x)=? （1）f(x)?2x?2??1,0?x?11?x?2．

答：（1）Dy?(??,?2)?(?2,2)?(2,4]；（2）函数f(x)的定义域是[0，2]． 2、函数的表示法

（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法

分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数

?1,x?0?x,x?0? 例如：绝对值函数y?x?? ； 符号函数y?sgnx??0,x?0

??x,x?0??1,x?0? 取整函数y?[x]?n,n?x?n?1 现行出租车的收费标准：p(x)????7.5,0?x?3

??7.5?1.5?x?3?,3?x 其中?x?表示不小于x的最小整数

（2）列表法：将一系列自变量x的数值与对应的函数值y列成表格表示函数的方法 （3）图形法：用图形表示函数的方法

3

《高等数学》（微积分）教案

说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 3、函数的性质 （1）单调性

定义：设函数y?f(x)的定义域为D，区间I?D，若对I内的任意两点x1,x2，当x1?x2时，

f(x1)?f(x2)，则称y?f(x)在I上单调增加；若当x1?x2时，有f(x1)?f(x2)，则称f(x) 在I上单调减少，区间I称为单调区间. 说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。 （2）奇偶性

定义：设函数y?f(x)在D上有定义，若对于任意的x?D，都有f(?x)?f(x)，则称 y?f(x)为偶函数；若有f(?x)??f(x)，则称y?f(x)为奇函数. 性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.

【例4】 判断下列函数的奇偶性．

ax?a?x1?x,(a?0,a?1) ； (2)y?ln（1）y?；

1?x2（3）f(x)?x4?2x2； （4）f(x)?x3?1． 答：(1) 偶函数； (2) 奇函数； （3）偶函数； （4）非奇非偶函数．

（3）有界性

定义：设函数的定义域为D，区间I?D，若存在一个正数M，使得对任意的x?I，恒有 f(x)?M，则称函数y=f(x)在区间I上有界。若不存在一个正数M，则称函数 y?f(x)在区间I上无界.

说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。 例如：y?sinx与y?cosx都在（??,??）内有界.

y?

1

在（0，1）上无界，而在（1，2）上有界 x

（4）周期性

定义：设函数y?f(x)在D上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的x?D，恒

4

《高等数学》（微积分）教案

有f(x?T)?f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数.

最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期 说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期 例如：y?sinx的周期是2?，y?tanx的周期是?，y?Asin(wx??)的周期是

函数y?c,（c为常数）是周期函数，但不存在最小正周期, （三）反函数

1、定义：设函数y?f(x)，其定义域为D，值域为M. 如果对于每一个y?M，有惟一 的一个x?D与之对应，并使y?f(x)成立，则得到一个以y为自变量，x为 因变量y的函数，称此函数为y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y) 说明：x?f?1(y)的定义域为M，值域为D.

因习惯上自变量、因变量分别用x、y表示，则y?f(x)的反函数表示为y?f?1(x) 例如：y?x的反函数是y?x2(x?0)，

其定义域就是y?x的值域?0,???，值域是y?x的定义域?0,??? 2、性质：函数y=f(x)和其反函数y?f3、反函数的存在性：

一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数

【例5】 求下列函数的反函数

（1）y?2x?1,x?(??,??)； （2）y?ex?1,x?(??,??)

?12?. w(x)的图象关于直线y?x对称

（四）初等函数 1、基本初等函数

（1）常数函数y?c（c为常数），其图形为一条平行或重合于x轴的直线. （2）幂函数y?x?（?为实数）,其在第一象限内的图形

5

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新幼儿教育第一章 函数极限与连续 全文阅读和word下载服务。