求不定积分的若干方法讲解

四川师范学院2011届毕业生论文

目录

中文摘要…………………………………………………………………………3 Abstract…………………………………………………………………………4 1 引言……………………………………………………………………………6 2 直接积分法…………………………………………………………………6 2.1原函数和不定积分的定义……………………………………………6 2.2直接积分法的运用方法………………………………………………6 3 换元积分法…………………………………………………………………7 3.1 第一换元积分法………………………………………………………7

3.1.1 第一换元积分法的定义与分析…………………………………………7 3.1.2 第一换元积分法的运用…………………………………………………7

3.2 第二换元积分法………………………………………………………10

3.2.1 第二换元积分法的定义和分析………………………………………10 3.2.2 第二换元积分法的运用………………………………………………10

3.3 换元积分法中值得注意的问题……………………………………12 4 分部积分法………………………………………………………………13 4.1分部积分法的定义和分析…………………………………………13 4.2分部积分法的几种题型和分部积分法中u和dv的选择………14 5 有理函数的不定积分………………………………………………15 5.1 有理函数的不定积分的定义和分析……………………………15 5.2 待定系数法在不定积分中的运用…………………………………16 6 小结…………………………………………………………………………17 参考文献…………………………………………………………………………20

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四川师范学院2011届毕业生论文

1 引言

数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。

2 直接积分法

2.1 原函数和不定积分的定义

(1) 原函数定义:设函数f与F在区间I上都有意义，若F′(x)=f(x)，x?I，则称F为f在区间I上的一个原函数。例如：f(x)是R上的一个原函数，其中f′(x)是f(x)的导函数，那么f(x)即为f′(x)的原函数。 注意：初等函数都是连续函数，所以均有原函数。

(2) 不定积分定义： 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积

分，记作?f(x)d(x)，其中?为积分号，f(x)是被积函数，x为积分变量。即则称y=f(x)的图像为f的一条积分曲?f(x)d(x)=F(x)+C.若F是f的一个原函数，线。即f的不定积分为沿y轴任意平移的曲线族。

2.2 直接积分法的运用方法

直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

(1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分；

例1：

22345x(2?x)dx?(8x?12x?6x?x)dx ??861?x3?3x4?x5?x6?c 3563 (2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式；

125258?(1?x)2363dx??(x3?2x3?x3)dx?x3?x3?x3?c 例2： ?3258x (3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式；

1(1?x2)?x211 例3： ?2dx?dx?dx??x2(1?x2)?x2?1?x2dx x(1?x2)

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1 ???arctgx?c

x (4) 对于含有绝对值的积分问题，要求先处理绝对值再积分。

由此可得，直接积分法使熟练掌握基本公式的基础。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式求解积分。

3 换元积分法

所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分?f(x)dx有困难时，

x??(t)(存在反函数t=?(x),且（?t）及（?x）都是连续可微函数，?′(t)?c)，把

原来的积分转化为对新变量t的积分。那么，不定积分的换元法有（其逆运算）导数的换元法（即复合函数的求导方法）而来，它是通过改变积分变量的方式来实现不定积分问题的转化。不定积分的换元法按照换元前后新旧积分变量的关系可分为：第一类换元积分法和第二类换元积分法。

3.1 第一换元积分法

3.1.1 第一换元积分法的定义与分析

第一类换元积分法，其新的积分变量为原积分变量的函数，即新的微分元为原积分变量函数的微分。该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化成积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所以，也称为“凑微分法”。

简单的说：第一类换元积分法的基本步骤如下：

凑微分f[?(x)]?′(x)dx?????f[?(x)]d[?(x)] ?换元（令u=?(x)）??f(u)du ??????积分?F(u)?c ???回代?F[?(x)]?c[1] ???

那么，该积分的关键是：将被积表达式凑成两部分，一部分是复合函数，其中外函数是基本积分公式中的某一被积形式，另一部分是内函数的微分。其根本就是通过拼凑使原本不能利用公式求的积分变成可应用公式求，使用此方法时，要熟练运用，除了要牢固掌握微积分的基本公式以外，还要了解一些常用微分公式。3.1.2 第一换元积分法的运用

首先，介绍一下基本的一些常微分公式，这些公式对于求解积分中运用换元积分法的题目有重要作用。

(1) 直接“凑”即将被积函数中的某个函数直接与dx凑成微分形式；

例4：求?2xexdx.

分析：其中2x与ex凑成微分形式。

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22四川师范学院2011届毕业生论文

22解：?2xexdx=?exdx2

令u=x2 则?exdx2=?eudu=eu+C

将u=x2回带，则eu=ex,所以?2xexdx= ex+C

(2) 分部“凑”即被积函数形式较为复杂，直接观察不易凑成微分形式，可先将部分因子化简后，分部来“凑”；

11?xlndx. 例5：求?2(1?x)1?x 解：由于[ln(1+x)]′= ?11, [ln(1-x)]′=- 1?x1?x2??2??2211?x1111?xlndx?(?)lndx 2?1?x1?x21?x1?x1?x?11?xlnd[ln(1?x)?ln(1?x)]2?1?x

11?x1?x11?x2??lndln?(ln)?c21?x1?x41?x (此类属于多次凑微分，我们习惯以x的运算模式，现在变成不常见的积分变量，具有一定的迷惑性，要多加小心。)

(3) 变形后“凑”即有些积分通过恰当的变形（加、减、乘、除某些因子）后，可以使用凑微分法。

例6：求不定积分?dx2[2]

xx?111 解：利用d()??2dx.将原被积函数进行恒等变形，即：

xx.

1xx2?1?x2111?2x,就有?dxxx2?1??dxx21??arcsin?c

x11?2x注意：凑微分的过程中要小心系数的调整。

这其中在于把被积表达式f(x)dx凑成g(?(x))?′(x)dx的形式，以便选取变换u=?(x)化为易于积分?g(u)du，最终引入将新变量（u）还原为起始变量（x）。

1dx. 例7：求?32?3x1?11dx=?(2?3x)3d(2?3x)，其中外函数是幂函数. 分析：?332?3x 解：令u=2-3x，

111?3 dx=?32?3x?3?udu

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2 =?1u32?c

21 =?(2?3x)3?c

2技巧：形如?sinmxsinnxdx、?sinmxcosnxdx（m?n）可用积化和差公式将

11其变形为?[cos(m?n)x?cos(m?n)x]dx、?[sin(m?n)x?sin(m?n)x]dx.

22例8：求?sin4xcos2xcos3xdx.

1 解：sin4xcos2xcos3x?(sin6x?sin2x)cos3x

21 =sin6xcos3x?sin2xcos3x

21111 =sin9x?sin3x?sin5x?sinx

4444 ?sin4xcos2xcos3xdx? =?1(sin9x?sin5x?sin3x?sinx)dx 4?1111cos9x?cos5x?cos3x?cosx?c 3620124第一类换元积分法是积分中的基本方法，用处很广，其中最关键的一步是凑微分，即把被积函数中的一部分送到微分号里面，凑成基本公式的形式。拼凑时，不但要熟悉基本的微分公式，还要经过一些恒等变换，才能真正运用凑微分法的内涵。

3.2 第二换元积分法

3.2.1 第二换元积分法的定义和分析

第二类换元积分法，其原积分变量为新的积分变量的函数。

一般地，如果在积分?f(x)dx中，令x??(t),且x??(t)可导，?′(t)?0,则有?f(x)dx??f[?(t)]?′若该式右端易求出原函数F(t)，则得第二类换元(t)dt，积分法：?f(x)dx?F[?′(x)]?c。

简单的说，第二类换元积分法的基本步骤：

?F(t)?c ????换元(令x??(t))f(x)dx???????f[?(t)]?′(t)dt

积分??F[? ????3.2.2 第二换元积分法的运用

回代t=??1(x)?1(x)]?c

一般地，被积函数中含有根式，采用第二换元积分法，目的是去掉根号。 (1) 简单根式代换：?f(x)ax?bdx，令ax?b?t。 例9：求

?x31?x2dx.

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