无穷级数与拉普拉斯变换

第5章 无穷级数与拉普拉斯变换

【学习目标】

无穷级数与拉普拉斯变换部分是电子信息类数学中另一个重要的基础内容，无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行近似计算的重要工具，而拉普拉斯变换在电学、力学、控制论等工程技术与科学领域均有着广泛的应用．掌握这些理论和方法，为以后专业课程中的电路分析、信号处理等打下扎实的数学基础. 【基本要求】

要求通过学习，掌握级数的概念、性质以及级数收敛的条件，熟练掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，掌握交错级数收敛性的莱布尼兹判别法，理解绝对收敛和条件收敛的概念，掌握幂级数的概念和运算，熟悉常用函数的幂级数展开，并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛域，掌握傅立叶级数的概念和性质，会将周期为2?的函数进行傅立叶级数展开，理解周期为T的函数的傅立叶级数展开，了解拉氏变换及其逆变换的概念和性质，并知道其在求解微分方程和分析电路中的应用.

5.1 无穷级数的概念与基本性质

5.1.1 引例

引例１ 半径为R的圆的面积A，是通过计算其内接正多边形的面积得到的．具体做法是：先作圆的内接正六边形，算出它的面积a1，可以用a1作为A的近似值；再以这个正六边形的每一边为底边，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和a2，则可以用a1?a2（即圆的内接正十二边形的面积）作为A的近似值，这要比以

a1作为A的近似值更精确；用同样方法，再以这个正十二边形的每一边为底边，分别作一

个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和a3，则可以用

a1?a2?a3（即圆的内接正二十四边形的面积）作为A的近似值，其精确度又更高；如此

继续下去，第n次可以用圆的内接正3?2边形的面积作为A的近似值，??,这样就可逐渐逼近圆的面积A，即

nA?a1，A?a1?a2，A?a1?a2?a3，??,A?a1?a2???an，??,

随着n无限增大，则和式a1?a2???an的极限就是所求的圆的面积．此时就出现了一个无穷多个数量相加的式子a1?a2???an??，这就是一个无穷级数．

引例２ 自然对数的底e的精确值

自然对数的底e是一个既很奇妙又很常用的无理数，它的近似值为2.71828??，而它的精确值可以表示为

?1111e?1?1?????????

2!3!n!n?0n!即为一个无穷级数的和．

5.1.2 无穷级数的基本概念

定义5.1 设给定一个无穷数列

u1，u2，??,un，??,

则式子u1?u2???un??称为无穷级数，简称级数，记作

??un?1?n．

即

?un?1n?u1?u2???un?? （５．１）

其中第n项un称为级数的通项或一般项．

若un是常数，则级数

??un?1?n称为数项级数；若un是函数，则级数称为函数项级数．

???1n?11n?1例如，?n和?(?1)都是数项级数；?x和?cosnx都是函数项级数．

n2n?0n?1n?1n?1?定义5.2 级数

?un?1n的前n项和

Sn?u1?u2???un

称为该级数的部分和．若当n???时，部分和数列?Sn?的极限存在，即limSn?S（Sn???为有限常数），则称该级数是收敛的，并称S为该级数的和，记作 S??un?1?n?u1?u2???un??

若当n???时，部分和数列?Sn?的极限不存在，则称该级数是发散的，发散的级数没有和．

当级数

?un?1?n收敛时，其和与部分和之差

rn?S?Sn?un?1?un?2???

称为级数的余项．用Sn作为S的近似值所产生的误差就是rn．

例1 判定等比级数（又称为几何级数）

?aq1n?1?n?1的敛散性．（a?0）

解；当q?1时，由于

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?1?a1(1?qn) 1?q?a1an?1若q?1，则有limSn?，即当q?1时，级数?a1q收敛，其和为1；

n???1?q1?qn?1?若q?1，则有

n???limSn??，即当q?1时，级数?a1qn?1发散；

n?1当q?1时，由于Sn?a1?a1???a1?na1，则有limSn??，所以级数

n????aq1n?1?n?1发散；

?a?1 当q??1时，由于Sn?a1?a1?a1??????0?则limSn不存在，所以级数

n???n为奇数n为偶数，

?aq1n?1?n?1发散．

故有：等比级数

?a1qn?1当q?1时收敛，其和为

n?1??a1；当q?1时发散． 1?q例2 判定级数

?(5n?4)(5n?1)的敛散性．

n?11解：Sn?1111????? 1?66?1111?16(5n?4)(5n?1)11111111?[(1?)?(?)?(?)???(?)]5661111165n?45n?1

11?(1?)55n?1

111(1?)?

n???n???55n?151即原级数收敛，其和为．

5所以 limSn?lim例３ 判定级数

?lnn?1?n?1的敛散性． n解： Sn?ln234n?1?ln?ln???ln 123n?ln2?ln1?ln3?ln2?ln4?ln3???ln(n?1)?lnn ?ln(n?1)

所以 limSn?limln(n?1)???

n???n???故该级数发散．

5.1.3 无穷级数的基本性质

可以证明，无穷级数具有下列基本性质（证明从略）：

性质１ 若级数和为kS．

同理，若级数

?un?1?n收敛，且其和为S，则级数

?kun?1?n（k为常数）也收敛，且其

?un?1??n发散，且k?0，则级数

?kun?1?n也发散．

由此说明，级数的每一项同乘一个非零常数后，其敛散性不变． 性质２ 若级数

?un?1n与

?vn?1?n都收敛，其和分别为S与?，则级数

?(un?1?n?vn)也收

敛，且其和为S??．

21????2n?(?1)n213?3?2?1?7． 例如，??()?(?)???213443nn?1n?13n?11?1?(?)33nn性质２说明，两个收敛级数逐项相加减后所得的级数仍然收敛．但应注意，两个发散级

1数逐项相加减所得的级数不一定发散．如级数?与

n?1n?11[?(?)]??0却是收敛的． ?nn?1nn?1??1(?)都发散，但?nn?1?

性质３ 级数增加或减少有限项后，其敛散性不变．

当级数收敛时，增加或减少有限项后仍然是收敛的，但级数的和却会改变．

?11111????n?1?例如，级数1????24816n?12111?2?2，删去其前三项，即有

?1111??????n?2?81632n?12181?12?1． 4性质４ 若一个级数收敛，则在其中一些项添加括号后形成的新级数也是收敛的，且其和不变．

但应注意，一个带括号的收敛级数在去掉括号后所得的级数不一定收敛．例如，级数

?(a?a)?(a?a)?(a?a)??

n?1?是收敛的，去掉括号后，级数化为a?a?a?a??它却是发散的．

性质５（级数收敛的必要条件）若级数

?un?1?n收敛，则limun?0．

n???性质５说明，limun?0是级数

n????un?1?n收敛的必要条件．即如果limun?0，则级数

n????un?1?n必发散，这是判定级数发散的一种常用方法．

?例４ 判定级数 解：因为

?n?11n3 的敛散性．

limun?limn???13n???n?lim3n???1n?1?0

根据级数收敛的必要条件，可知该级数是发散的． 应该注意，limun?0是级数

n????un?1?n收敛的必要条件但不是充分条件，如在例5．３中，

?n?11n?1?limln(1?)?0，但级数?ln虽有 limun?limln却是发散的．

n???n???n???nnnn?1

5.2 数项级数及其审敛法

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