无穷级数与拉普拉斯变换 (3)

?un?1?n(x)?u1(x)?u2(x)???un(x)?? （5．２）

中的各项un(x)均为定义于区间Ｉ上的函数，则称该级数为函数项级数．

在区间Ｉ上取一定值x?x0，即得一个数项级数

?un?1?n(x0)?u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? （５．３）

若级数（５．３）收敛，则称x0为函数项级数（5．２）的一个收敛点；若级数（５．３）发散，则称x0为函数项级数（5．２）的一个发散点．函数项级数（5．２）的全体收敛点所组成的集合Ｄ称为该级数的收敛域．

在函数项级数（5．２）的收敛域Ｄ中，每一个点都对应该级数的一个和．由此在收敛域Ｄ上就定义了函数项级数（5．２）的和函数S(x)，即

S(x)??un?1??n(x)?u1(x)?u2(x)???un(x)?? x?D （５．４）

1． 1?x例如，级数

，其和函数为?xn?1?x?x2??xn??的收敛域为（－１，１）

n?0?1即 ??xn?1?x?x2??xn?? x?（－１，１）

1?xn?0

5.3.2 幂级数及其收敛域

定义５.８ 形如

??an?0n (x?x0)n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n?? （５．５）

的函数项级数称为(x?x0)的幂级数．其中a0，a1，a2?,an?称为幂级数的系数．

特别地，当x?0时，幂级数（５．５）变为

?an?0?nxn?a0?a1x?a2x2???anxn?? （５．６）

（５．６）称为x的幂级数．

因为通过变换t?x?x0即可将幂级数（５．５）化为幂级数（５．６）的形式，所以本节只讨论幂级数（５．６）．

下面讨论如何确定幂级数（５．６）的收敛域．为此考察正项级数

?n?0?anxn?a0?a1x?a2x2???anxn??

若设 limn??an?1an??， 则有

un?1an?1xn?1 l?lim?limn???un???anxnn于是，由比值审敛法可知 （１）当0?????时，若x???x．

1?，则 l??x?1，因此幂级数（５．６）绝

对收敛；若x?1?，则 l??x?1，因此幂级数（５．６）发散．此时，幂级数（５．６）

的收敛域是一个以原点为中心，从?的收敛半径．

1?到

1?的一个区间．正数R?1?就称为幂级数（５．６）

（２）当??0时，由于l??x?0?1，因此幂级数（５．６）在（??，??）内处处绝对收敛，此时其收敛半径可记作R???．

（３）当????时，由于只要x?0就有l??x????1，因此幂级数（５．６）除x?0点外处处发散，仅在x?0点处收敛，此时其收敛半径可记作R?0．

综上所述，得到如下定理

定理５.５ 对幂级数（５.６），若 limn???an?1an??，则该幂级数的收敛半径为：

?1????R??????0??此外，当收敛半径R?当0?????当??0当????

1?为有限正数时，还需分别将x??R代入幂级数（５.６），用

数项级数的审敛法判定它在两个端点的敛散性，以确定它的收敛域是否包含端点．

例１１ 求下列幂级数的收敛半径与收敛域

（１）

?(?1)n?1??n?1?2n?12n?1xn； （２）x； ?n23nnn?1(2x?1)n（３）?．

nn?1解：（１）因为

??limn???an?1an(?1)n?limn???13n?1(n?1)1(?1)n?1n3n?limn1?

n???3(n?1)3所以该级数的收敛半径为 R?1??3．

?1n?11又当x??3时，级数为（－?）是发散的，当x?3时，级数为?(?1)是收

nn?1nn?1?敛的，所以该级数的收敛域为（?3，3]．

（２）因为该幂级数缺少偶数次项，故不能直接用定理５.５．由比值审敛法

l?limun?1?limn???un???n2n?12n?1x2n?12n?1nxn?12?lim2n?1212x?x

n???2(2n?1)21212x?1，即x?2时，而当l?x?1，即x?2时，原幂级2212x?1，即x?2时，原幂级数发散，所以该级数的收敛半径为数绝对收敛，当2当l?R?2．

又当x??2时，级数为??n?1?2n?12是发散的，当x?2时，级数为?n?1?2n?12也是

发散的，所以该级数的收敛域为（?2，2）．

?tn （３）设2x?1?t，则原幂级数化为t的幂级数?

n?1n因为

??limn???an?1an?limn???1n?11n?limn?1

n???n?1

所以其收敛半径为 R?1??1．

于是，当t?2x?1?1，即 ?1?x?0 时，原幂级数绝对收敛．

?n?11又当x??1时，级数为?(?1)是收敛的，又当x?0时，级数为?是发散的，

nn?1n?1n所以该级数的收敛域为［?1，0 )．

5.3.3 函数项级数的性质

在幂级数的收敛域内，幂级数及其和函数可以进行加、减及求导数、求积分的运算，并有以下性质（证明从略）.

性质１ 设幂级数

?an?0?nx与?bnxn的收敛半径分别为R1与R2，它们的和函数分

nn?0?别为S1(x)与S2(x)，即

S1(x)＝

?an?0??n x?（?R1，R1） xn S2(x)＝

?bxnn?0n x?（?R2，R2）

取R?min{R1,R2}，则当x?R时，这两个幂级数可以逐项相加或相减，即有

S1(x)?S2(x)＝

??(an?0n?n?bn)xn x?（?R，R）

性质２ 设幂级数

?an?0xn的收敛半径为R，它的和函数为S(x)，即

? S(x)＝则有

?an?0nxn x?（?R，R）

（１）S(x)在（?R，R）内是连续函数； （２）S(x)在（?R，R）内可导，且有

S?(x)＝

?(an?0?nx)?＝?nanxn?1 x?（?R，R）

nn?0?

（３）S(x)在（?R，R）内可积，且有

x0

?S(x)dx???anxdx??nn?00?xann?1x x?（?R，R） n?1n?0?例１２ 求下列幂级数的和函数

?xn?1（１）?(?1) （２）?nxn?1

n?1n?1n?1?nn?1xn?1x2x3x4nx解：（１）设S(x)＝?(?1)?x??????(?1)?? n?1234n?1n?1?n因为 S?(x)?1?x?x?x???x???于是

23n1 x?（－１，１） 1?xS(x)?S(0)??S?(x)dx??0x1dx?ln(1?x)01?xx又 S(0)?0，所以有

xn?1S(x)＝?(?1)?ln(1?x) x?（－１，１）

n?1n?1?n（２）设S(x)＝

?nxn?1?n?1?1?2x?3x2???nxn?1??

因为

?x0S(x)dx?x?x2?x3???xn???xx x?（－１，１） 1?x所以 S(x)?[

x1?? x?（－１，１） S(x)dx]?()?2?01?x(1?x)5.４ 函数展开成幂级数

前面我们讨论了幂级数在收敛域内求和函数的问题，在实际应用中常常遇到与之相反的

问题，就是对一个给定的函数，能否在一个区间内展开成幂级数？如果可以，又如何将其展开成幂级数？其收敛情况如何？本节就来解决这些问题．

5.4.1 麦克劳林级数

设给定函数f(x)在x?0点的某邻域内存在任意阶导数，如果f(x)在x?0点的某邻

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