无穷级数与拉普拉斯变换 (8)

（１）在定义中，只要求f(t)在t?0有定义，为了研究方便，以后总是假定t?0时，

f(t)?0．

（２）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转化为一个新的函数，是一种积分变换．一般在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．

例２２ 求下列函数的拉氏变换．（t?0（１）f(t)?eat）

(a为常数)； （２）f(t)?at(a为常数)；

（３）f(t)?sin?t(?为常数)

at解：(1) L[f(t)] ?L[e]? ?????0ee??0at?ptdt??1p?a??0e?(p?a)tdt

(p?a)

1e?(p?a)tp?a? (2) L[f(t)]?L[at]????0ate?pta???ptdt???tde

p0??0??a?pttepn??0?a???pta?ptedt??e2?0pp(p?0)

?ap2(p?0)

一般地，有 L[t]?n!pn?1 (3) L[f(t)]?L[sin?t]????0sin?te?pte?ptdt?[?2(psin?t??cos?t)]p??2??0

??p2??2(p?0) pp2??2同理可得 L[cos?t]?(p?0)

下面介绍自动控制系统中的两个常用特殊函数及其拉氏变换：

１. 单位阶跃函数

单位阶跃函数（又称为单位阶梯函数）的表达式为

?0 u(t)???1其图象如图5．７（a）．

t?0 t?0把u(t)分别平移a和b个单位，如图5．7（b）、（c），则有

u(t?a)???0?1t?a t?at?b t?b u(t?b)???0?1当a?b时，将以上两式相减，如图5．7（d），得 u(t?a)?u(t?b)???1?0a?t?bt?a或t?b

利用单位阶跃函数可以将分段函数合写成一个式子．

单位阶跃函数具有以下性质

bu(at?b)?u(t?)a L[u(t)]?(a?0,b?0)

单位阶跃函数的拉氏变换为

???0u(t)e?ptdt??e?ptdt

0??0?? ??1?ptep?1p(p?0)

一般地，有 L[u(t?t0)]?例２３ 已知分段函数

1?pt0ep(p?0)

?0?c?1 f(t)???c2??c3t?00?t?aa?t?bt?b

试用单位阶跃函数将f(t)合写成一个式子，并求L[f(t)]．

解：由于

c1[u(t)?u(t?a)]???c1?00?t?at?0或t?aa?t?b

?c2 c2[u(t?a)?u(t?b)]???0 c3u(t?b)??t?a或t?b

?0?c3t?bt?b将以上三式相加，即得

f(t)?c1[u(t)?u(t?a)]?c2[u(t?a)?u(t?b)]?c3u(t?b)

?c1u(t)?(c2?c1)u(t?a)?(c3?c2)u(t?b)

L[f(t)]?L[c1u(t)?(c2?c1)u(t?a)?(c3?c2)u(t?b)]

?c1L[u(t)]?(c2?c1)L[u(t?a)]?(c3?c2)L[u(t?b)]

?c1c2?c1?apc3?c2?bp?e?e ppp

2. 单位脉冲函数（或狄拉克函数）

在许多物理现象中，常常会遇到一种作用时间极短，但取值极大的量．如瞬间作用的冲击力、电脉冲等．这一类量无法用通常意义的函数表示，而可以用一个特殊的广义函数来表示．

定义５.１２ 函数

?0???(t)??1???称为脉宽为?，振幅为

t?0或t??0?t??

1的矩形脉冲函数．而称 ???0?(t)?lim??(t)???0??t?0 t?0

为单位脉冲函数，或狄拉克（Dirac）函数,又称为??函数．

、（b）所示． ??(t)和?(t)的图形如图５．8（a） ??(t) ?(t)

1 ?

O ? t O t

图５．8（a） 图５．8 (b)

可以证明，??函数具有以下性质：

（１）（２）

??????(t)dt?1；

． f(t)?(t?t0)dt?f(t0) （其中f(t)在（??，??）上连续）

???????由以上性质（２），可得??函数的拉氏变换为

L[?(t)]????0?(t)e?ptdt???(t)e?ptdt

?? ?e?ptt?0?1

一般地，有 L[?(t?t0)]?e?pt0

5.6.2 拉氏变换的性质

下面直接给出拉氏变换基本性质和常用函数的拉氏变换，以备查用.

表5。1 拉氏变换的性质

设L[f(t)]?F(p) 1 2 L[k1f1(t)?k2f2(t)]?k1L[f1(t)]?k2L[f2(t)] ?k1F1(p)?k2F2(p) L[eatf(t)]?F(p?a) L[f(t?a)u(t?a)]?e?apF(p) （a?0） 3

4 L[f?(t)]?pF(p)?f(0) L[f(n)(t)]?pnF(p)?[pn?1f(0)?pn?2f?(0)???f(n?1)(0)] 5 L[?f(x)dx]?0tF(p)p 6 7 8 L[f(at)]?1pF() （a?0） aaL[tnf(t)]?(?1)nF(n)(p) L[??f(t)]??F(p)dp pt

表5．2 常用函数的拉氏变换

1 2 3 4 5 6 7 8 f(t) L[f(t)]?F(p) 11 12 13 14 15 f(t) L[f(t)]?F(p) ?(t) 1 sin(?t??) psin???cos? p2??2pcos???sin? 22p??2?p 222(p??)u(t) 1 p1 2 pn! pn?1cos(?t??) t tntsin?t (n?1,2,?) tcos?t p2??2 222(p??) e at1 p?aa p(p?a)1 2(p?a)n! (p?a)n?1e?atsin?t ?(p?a)2??2 ?at 1?e ?at ecos?t 16 p?a 22(p?a)??at te 1 (1?cos?t) 17 ?2 18 1 22p(p??)tneat(n?1,2,?) eat?ebt a?b (p?a)(p?b))

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