无穷级数与拉普拉斯变换 (7)

f(x)??bnsinnxn?1?其中bn?称之为正弦级数；

2???0???? (5．２１) ?f(x)sinnxdx（n?1,2,3,?）??若f(x)是周期为2?的偶函数，则其系数

an???2?0f(x)cosnxdx （n?0,1,2,,?）

bn?0 （n?1,2,3,?）

则f(x)的傅里叶级数为只含余弦项与常数项的三角级数

a0??f(x)???ancosnx??2n?1? （５．２２）

2??其中an??f(x)cosnxdx（n?0,1,2,?）??0?称之为余弦级数．

例１９ 设f(x)是周期为2?的函数，它在［??，?)上的表达式为

??1? f(x)???1?将f(x)展开为傅里叶级数．

???x?00?x??

解：f(x)满足收敛定理的条件，因为f(x)是周期为2?的奇函数，所以其傅里叶级数为正弦级数，即其傅里叶系数为

an?0 （n?0,1,2,,?）

bn?2???0f(x)sinnxdx?2???0sinnxdx??2cosnxn?

?0

?42??(1?cosn?)??n?n???0所以，f(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)?n?1,3,5,?n?2,4,6,?111[sinx?sin3x?sin5x???sin(2n?1)x??] ?352n?14 x?(??,

??),x?k?k?Z

在间断点x?k?处，级数收敛于

f(???0)?f(??0)?1?1??0

22f(x)及其傅里叶级数的图象如图５.３（a）、５.３（b）．

若要把定义在[0，?]上的函数展开成正弦级数（或余弦级数），只需在[-?，0)上补充f(x)的定义，得到一个定义在[-?，?]的新的奇函数（或偶函数F(x)），使其在[0，?]上，F(x)?f(x)．这种做法称为对函数f(x)的奇延拓（或偶延拓）．然后将F(x)展开为傅里叶级数，再将F(x)的傅里叶级数限制在[0，?]上，这样就得到f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开式．

例２０ 将函数 f(x)?1?x （0?x??）分别展开为正弦级数和余弦级数． 解：将f(x)作奇延拓，如图５.４ 则其傅里叶系数为

an?0 （n?0,1,2,,?）

bn?2???0(x?1)sinnxdx?2?[?(x?1)cosnxsinnx?]nn2?0?0

2[1?(??1)cosn?] ?n??2??4??n?????2??nn?1,3,5,?

n?2,4,6,?所以，f(x)的正弦级数展开式为

f(x)?1?x?2?[(??2)sinx??2sin2x???23sin3x??4sin4x??] （0?x??）

再将f(x)作偶延拓，如图５.５ 则其傅里叶系数为

bn?0 （n?1,2,3,?）

a0?an?2?2??02x2(x?1)dx?(?x)?2(x?1)cosnxdx??0???2

?0???02(x?1)sinnxcosnx[?]?nn2

?4???2(cosn??1)??n2?n???02所以，f(x)的余弦级数展开式为

n?1,3,5,?n?2,4,6,?

f(x)?1?x?

*?2?1?4?(cosx?11cos3x?cos5x??).(0?x??) 32525.5.4 周期为T的函数展开为傅里叶级数

若f(x)是周期为T的函数，且在［?代换x?TT，］上满足收敛定理的条件，则可通过变量22Tt，将其化为以2?为周期的函数，即可得到f(x)的傅里叶级数展开式为 2?a0?2n?2n?f(x)???(ancosx?bnsinx)2n?1TT22n?xdx 其中an??2Tf(x)cos?T2T22n?bn??2Tf(x)sinxdxT?2T

TT(n?0,1,2,?)(n?,1,2,3?)?????? （５．２３） ?????

若f(x)是周期为T的奇函数，则f(x)的傅里叶级数为正弦级数

f(x)??bnsin

n?1?4其中bn??2T0T???? （５．２４）

2n??f(x)sinxdx（n?1,2,3,?）?T?2n?xT若f(x)是周期为T的偶函数，则f(x)的傅里叶级数为余弦级数

a0?2n?f(x)???ancosx2n?1T4其中an??2T0T???? （５．２５）

2n??f(x)cosxdx（n?0,1,2,?）?T?例２１ 设f(x)是周期为4的函数，它在［?2，2)上的表达式为

?0? f(x)???2?将f(x)展开为傅里叶级数．

?2?x?00?x?2

解：f(x)满足收敛定理的条件．先计算傅里叶系数：

1212f(x)dx?2dx?2 2??22?0122n?12n?2n?2xdx??2cosxdx?[sin]0?0 an??f(x)cos2?24202n?2122n?12n?2n?2xdx??2sinxdx??[cos]0 bn??f(x)sin?202422n?2a0??42? ?(1?cons?)??n?n???0所以得到f(x)的傅里叶级数为

n?1,3,5,?n?2,4,6,?

f(x)?1?4?(sin?13?5?x?sinx?sinx??)2322(???x???x?2k(k?Z)) 在其间断点x?2k(k?Z)处，f(x)的傅里叶级数收敛于

f(?2?0)f(2?0)0?2??1

22图５．６(a)与图５．６(b)分别是f(x)与它的傅里叶级数的图象．

*5.6 拉普拉斯变换

拉普拉斯（Laplace）变换简称拉氏变换．它可用于求解常系数线性微分方程，同时在电学、力学、控制论等工程技术与科学领域都有着广泛的应用，本节将介绍拉氏变换的概念与性质、拉氏逆变换以及它的一些简单应用．

5.6.1 拉氏变换的概念

定义５．１１ 设f(t)是定义于t?0的实变量函数，若广义积分某个区域内收敛，则由此积分所确定的p的函数 F(p)????0f(t)e?ptdt在p的

???0f(t)e?ptdt

称为f(t)的拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换．记作L[f(t)]，即 L[f(t)]=F(p)????0f(t)e?ptdt （ 5．２６）

F(p)也称为f(t)的拉氏变换象函数，f(t)称为F(p)的拉氏逆变换，又称为F(p)的拉氏

变换的象原函数，记作L?1[F(p)]，即

（５．２７）

L?1[F(p)]?f(t)关于拉氏变换的定义，作以下两点说明：

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