无穷级数与拉普拉斯变换 (2)

5.2.1 正项级数及其审敛法

定义5.3 如果级数

?un?1?n的每一项都是非负常数，即un?0（n?1,2,??,）则称

该级数为正项级数．

下面介绍两种判断正项级数敛散性的方法 １．比较审敛法

定理５.1 若两个正项级数

?un?1?n与

?vn?1n?n满足关系式un?vn（n?1,2,??），则

（１）当级数

?vn?1??n收敛时，级数

?un?1??也收敛；

（２）当级数（证明从略）

?un?1n发散时，级数

?vn?1n也发散．

例５ 判定调和级数 解：由于调和级数

?n?1?1 的敛散性． n11111111?1????????? ?2345678n?1n1111111)?(?)?(???)?? 2345678? ?(1?的各项均大于级数

1111111?(?)?(???)??2448888 ?1111???????222n?12的对应项，而后一个级数是发散的，由比较审敛法可知，调和级数

?n是发散的.

n?1?1例６ 判定p?级数

1 的敛散性． ?pn?1n??111解：当p?1时，有 p?，又由例1知级数?是发散的，由比较审敛法可知，

nnn?1n级数

1 是发散的； ?pn?1n

?

当p?1时，有

111111111?1?(?)?(???)?(???)?? ?ppppppppp234567815n?1n11111111?)?(???)?(???)?? 2p2p4p4p4p4p8p8p?它的各项均小于或等于级数

1?(???(n?11n?1) p21的等比级数，因而是收敛的，由比较审敛法可知，级数2的对应项，而后者是一个公比为

?nn?1?1p是收敛的．

故有，p?级数

1当p?1时是收敛的，当p?1时是发散的． ?pn?1n?例７ 判定下列级数的敛散性

?n?11（１）?3 ； （２）?．

n?1n(n?1)n?1n?1?解：（１）由于

?n?12n2?? 332n?1nn?12而级数?2是p?2?1的p?级数，因而是收敛的，由级数的性质，级数?2也是收

n?1nn?1n敛的，再由比较审敛法可知，级数

n?1是收敛的． ?3n?1n?12?(2) 因为 n(n?1)?(n?1) 所以有

1n(n?1)?1 n?1又因为级数

1111??????是调和级数去掉第一项所得的级数，由级数的性质?234n?1n?1?知，它是发散的，再由比较审敛法可知，级数

２. 比值审敛法

?n?1?1n(n?1)是发散的．

定理５．２（达朗贝尔（D?Alembert）判别法） 对正项级数则

（１）当l?1时，级数

如果 lim?un，

n?1?un?1?l，

n???un?un?1??n收敛；

（２）当l?1时，级数

?un?1n发散；

（３）当l?1时，不能用此法确定级数（证明从略）

例８ 判定下列级数的敛散性

?un?1?n的敛散性．即比值审敛法失效．

n?1（１）?n ； （２）

n?12解：（１）因为

??n?1?3n． 2n l?limun?1n???unn?1?1n?11n?212?lim?lim??1

n??n???n?12n?122n由比值审敛法可知，该级数收敛．

（２） 因为

l?limun?1n???un3n?1(n?1)2n2?lim?3lim()?3?1 nn??n???n?13n2由比值审敛法可知，该级数发散．

5.2.2 交错级数及其审敛法

定义５.4 形如

?(?1)n?1?n?1（n?1,2,??）的级数称为交错级数． un（un?0）

交错级数的特点是正项负项交替出现．对交错级数，有以下审敛法 定理５．３（莱布尼兹(Leibniz)判别法） 若交错级数

?(?1)n?1?n?1un满足条件：

（１） un?un?1 （n?1,2,??）； （２） limun?0

n???

则此级数收敛，且其和S?u1，其余项rn的绝对值rn?un?1． （证明从略） 例９ 判定级数

?(?1)n?1n?1?1 的敛散性． n解：该级数是一个交错级数，由于

11??un?1； nn?11un?lim?0 （２） limn???n???n （１） un?由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛．

5.2.3 任意项级数及其审敛法

定义５.５ 若级数数为任意项级数．

??un?1?n?u1?u2???un?? 中的各项un为任意实数,则称此级

如级数

?n?1cos2n??5，交错级数(?1)n?1u?nn2?1n?1(un?0)都是任意项级数．

对任意项级数

?un?1?n，有以下结论：

??定理５.４ 对任意项级数

?un?1n，如果其各项取绝对值所形成的正项级数

?n?1un收

敛，则该级数

?un?1?n也收敛．

（证明从略）

但应注意，以上结论反之不成立．即如果任意项级数

?un?1??n收敛，则其各项取绝对值所

形成的正项级数

?n?1?un不一定收敛．如例９中级数?(?1)n?1n?11收敛，但正项级数n?n?1?(?1)n?1?11??却是发散的．对任意项级数的敛散性，可定义如下： nn?1n??定义５.６ 对任意项级数

?un?1n，如果其各项取绝对值所形成的正项级数

?n?1un收

敛，则称该级数绝对收敛；如果级数

?un?1?n收敛，而其各项取绝对值所形成的正项级数

?n?1?un发散，则称该级数条件收敛．

例１０ 判定下列级数的敛散性

?（１）

?n?1sin4n??3 （２）(?1)n?1?nn?11

ln(n?1)解：（１）级数

?n?1?sinn?n?sin?3是一个任意项级数，考察正项级数3?4n4nn?1

sin因为

n?34n?111?n ，而级数?n是一个公比为的等比级数，它是收敛的，

44n?14由比较审敛法可知，级数

?n?1?sin4n?3n是收敛的，所以原级数是绝对收敛的．

（２）该级数为交错级数，因为

un?11??un?1；

ln(n?1)ln(n?2)1?0

n???lnn(?1)?11?，而级数

ln(n?1)n?1un?lim及 limn???由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛．但因为un???111n?1发散，由比较审敛法可知，级数?(?1)发散，所以???ln(n?1)n?1n?1ln(n?1)n?1n?1原级数是条件收敛的．

5.3 幂级数

5.3.1 函数项级数的概念

定义５.7 若级数

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