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正定矩阵的性质与应用

来源:用户分享 时间:2020-06-26 本文由盛夏光年 分享 下载这篇文档 手机版
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本科生学年论文(设计)

论文(设计)题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级

指导教师(职称) 字 数 5488 成果完成时间

正定矩阵的性质及应用

摘 要:我们在化二次型为标准型的过程中,得到了正定矩阵的定义,而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明.同时,本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨. 关键词:正定矩阵;等价定理;性质;应用

The nature and application of positive definite matrices

Abstract:We are of the two type is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite matrix in matrix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion.

Key words:Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application

目 录

1引言 .................................................................... 1 2矩阵的概述 .............................................................. 1 2.1正定矩阵的等价定理 .................................................... 1 2.2正定矩阵的性质 ........................................................ 3 3矩阵的应用 .............................................................. 5 3.1正定矩阵在矩阵运算中的的应用 .......................................... 5 3.2正定矩阵在不等式问题中的应用 .......................................... 6

3.2.1正定矩阵与一般不等式 ............................................ 6 3.2.1正定矩阵与柯西不等式 ............................................ 7 3.3正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 .................................... 8 4小结 ................................................................... 10

正定矩阵的性质及应用

1引言

代数学是数学学科中的一个重要分支,而正定矩阵又是其中的重中之重。在二次型证明过程中,我们设

f(x,x,?,xn)是一个实二次型,若对应的任意一组不全为零的实数c1,c2,?,cn,都有

f(c1,c2,?,cn)?0,则称f(x1,x2,?,xn)为实正定二次型,它所对应的对称矩阵A为正定对称定称

阵,简称正定矩阵.

2矩阵的概述

2.1正定矩阵的等价定理

判定一个矩阵是否为正定矩阵时,除用定理外还可以运用一些等价定理.以下为一些判定矩阵正定的一些充要条件:

定理1 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:矩阵A合同于阶单位矩阵I. 证 充分性 由于n阶实对称矩阵A是正定矩阵,则其对应的二次型为正二次型.另外,正二次型可以经非退化线性替换X?PY使得

f(x1,x2,?,xn)?(PY)TA(PY)?YT(PTAP)Y?diag(a1,a2,?,an)?g(y1,y2,?,yn).

其中PTAP?In,所以矩阵A合同于阶单位矩阵I.

必要性 由于矩阵A合同于阶单位矩阵I,则存在n阶可逆矩阵P,使得PTAP?In,则其对应二次型得到

g(y1,y2,?,yn)?YTInY?(PY)TA(PY)?f(x1,x2,?,xn).

其中g(y1,y2,?,yn)为正定二次型,则f(x1,x2,?,xn)也是正定二次型,所以n阶实对称矩阵A是正定矩阵.

定理2 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:矩阵A的正惯性指数等于n. 证 充分性 由于n阶实对称矩阵A是正定矩阵,由定理1得到矩阵A合同于阶单位矩阵I,所以矩阵A的正惯性指数等于n.

必要性 由于矩阵A的正惯性指数等于n,则其对应的二次型为正定二次型,所以矩阵A是正定矩阵.

T 定理3 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:存在满秩矩阵C,使得A=CC成立.

证 充分性 由于矩阵A是正定矩阵,则矩阵A与同阶单位矩阵I合同,所以存在实可逆矩阵

C,使得A?CTIC?CTC.

必要性 由于矩阵A?CC ,且C是实可逆矩阵,则对于

T?X?0,CX?0,XTAX?XTCTCX?(CX)T(CX)?0.

1

所以矩阵A是正定矩阵.

定理4 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:n个特征根全为正值.

证 充分性 由于n阶实对称矩阵A是正定矩阵,则存在正交矩阵P,即P?P,满足

T?1PTAP?diag(a1,a2,?,an),其中a1,a2,?,an是矩阵A的全部特征值,则矩阵A对应的二次型为f?XTAT.令X?PY,则

f(x1,x2,?,xn)?(PY)TA(PY)?YTPTAPY?YTdiag(a1,a2,?,an)Y?g(y1,y2,?,yn).

另外,由矩阵A是正定矩阵得到二次型也为正二次型,所以矩阵A的特征根a1(i?1,2,?,n)全为正值.

必要性 由于 n阶实对称矩阵A的特征根a1(i?1,2,?,n)全为正值.则存在正交矩阵P,即

PT?P?1,满足PTAP?diag(a1,a2,?,an),则其对应的二次型可表示为

g(y1,y2,?,yn)?YTdiag(a1,a2,?,an)Y?YTPTAPY?(PY)TA(PY)?f(x1,x2,?,xn).

则g(y1,y2,?,yn)为正二次型,所以其对应的矩阵A是正定矩阵.

定理5 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:矩阵A所有顺序主子式都大于零.

证 充分性 由于n阶实对称矩阵A是正定矩阵,则其对应的二次型f(x1,x2,?,xn)为正定二次型.构造二次型函数f(x1,x2,?,xk)(0?k?n),则其也为正二次型,则对应的矩阵Ak为正定矩阵,即Ak?0,所以正定矩阵A所有顺序主子式大于零.

必要性 由于n阶实对称矩阵A所有顺序主子式都大于零,则其构造的顺序主子式

Ak(0?k?n)对应的二次函数f(x1,x2,?,xk)皆为正二次型.得到当k?n时的二次型f(x1,x2,?,xk)为正二次型,所以对应的n阶实对称矩阵A是正定矩阵.

定理6 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:存在满秩矩阵P,使PTAP成为对角线元素皆正的对角阵D.

证 充分性 由于n阶实对称矩阵A是正定矩阵,则矩阵A合同于阶单位矩阵I,且单位矩阵I的对角线元素皆为正,而对角线元素皆正的对角阵D必定与单位矩I合同,所以存在满秩矩阵P,使PTAP成为对角线元素皆正的对角阵D.

必要性 由于存在满秩矩阵P,使PTAP成为对角线元素皆正的对角阵D,而对角线元素皆正的对角阵D必定与单位矩I合同,得带矩阵A与单位矩I合同,所以矩阵A是正定矩阵.

定理7 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:存在对称正定阵B,使得A=B2. 证 充分性 由于矩阵B是正定矩阵,且A=B2,则

TT2TT对于任意X?0,XAX?XBX?XBXXBX?0.

所以 矩阵A是正定矩阵.

必要性 由于矩阵A是n阶实对称正定矩阵,则存在正交阵Q,使得

A?QNQT?QNNQT?QNQTQNQT.

其中

.所以记N?diag(?1,?2,?,?n)(?i(i?1,2,?,n)为矩阵A的特征向量)

B?QNQT,得到A?B2.

定理8 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是:A-1是正定矩阵.

2

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