正定矩阵的性质与应用 (2)

?1 证 充分性 由于矩阵A是正定矩阵，则存在实可逆矩阵C，使得

?1A?1?C?1(C?1)T?(CTC)?1．

另外，因为A?(A?1)?1?((CTC)?1)?1?CTC，所以得到矩阵A是正定矩阵．

必要性 由于矩阵A是正定矩阵，则存在实可逆矩阵C，使得A?CC?CC．另外，

TTA?1?(CTC)?1?C?1(C?1)T．

所以，矩阵A是正定矩阵．

定理9 n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充要条件是：存在正交向量组?１，?２，?，?ｎ，使

TTT． A=α1α1+α2α2+?+αnαn?1 证 充分性 由于

TTTTA??1?1T??2?2????n?n?(?１，?２，?，?ｎT)(?１，?２，?，?ｎ)T．

另外，因为向量组?i(i?1,2,?,n)是正交向量组，则得到(?１，?２，?，?ｎ)T?U是正交矩阵，即

A?UTU．所以，矩阵A是正定矩阵．

必要性 由于矩阵A是正定矩阵，则存在正定矩阵U?(?1,?2,?,?n)，使得

A?UTdiag(?1,?2,?,?n)U．

令

?i??i?i(i?1,2,?,n)．

则

?i(i?1,2,?,n)为正交向量组，所以得到存在正交向量组?１，?２，?，?ｎ，使得

2.2正定矩阵的性质

从正定矩阵的定义及其等价条件我们可得知以下关系性质：

性质1 正定矩阵与单位矩阵的关系：如果矩阵A是正定矩阵，则矩阵A与同阶单位矩阵I合

TTT． A=α1α1+α2α2+?+αnαnT同，即存在可逆矩阵P,使得PAP=I．

证 由于矩阵A是正定矩阵，由定理1可得矩阵A与同阶单位矩阵I合同，所以必定存在可逆

T矩阵P,使得PAP=I．

性质2 正定矩阵与二次型的关系：如果矩阵A是正定矩阵，则矩阵A对应的实二次型XTAX的规范标准型为假设n阶实对称矩阵A对应的二次型为y1+y2+?+yn．

T 证 由于矩阵A是正定矩阵，则存在可逆矩阵P，使得PAP?I．另外，因为矩阵A对应的

222正定二次型为f(x1,x2,?,xn)?XTAX，令X?PY．则可以得到

22． f(x1,x2,?,xn)?(QY)TA(QY)?YT(QTAQ)Y?YTBY?c1y12?c2y2???cnyn所以关系成立．

性质3 正定矩阵与特征值的关系：如果矩阵A的特征值都大于零．

证 因为矩阵A是正定矩阵，?i(i?1,2,?,n)是矩阵A的特征根，则存在正交矩阵Q，使得

QTAQ?B，B?diag(c1,c2,?,cn)，其中ci(i?1,2,?,n)?0．

另外，因为矩阵A对应的正定二次型为f(x1,x2,?,xn)?XTAX，令X?PY，可以得到

3

22f(x1,x2,?,xn)?(QY)TA(QY)?YT(QTAQ)Y?YTBY?c1y12?c2y2???cnyn?．

由于ci?λi(i?1,2,?,n)，所以得到矩阵A的特征值都大于零．

性质4 正定矩阵与行列式的关系：如果矩阵A是正定矩阵，则矩阵A的顺序主子式都大于零． 证 因为矩阵A?(aij)是正定矩阵，则可设其对应的正定二次型为

f(x1,x2,?,xn)???aijxixj．

令

j?1i?1kknnf(x1,x2,?,xk)???aijxixj．

T则得到fk是正定二次型，且对应矩阵Ak也是正定矩阵．即存在非异k阶矩阵B，使得BAB?I．故

j?1i?12de(tBTA)kB(det?)detB1Ak?，所以detAk?0，即证明正定矩阵A的顺序主子式都大于零．

性质5 对任意实对称矩阵A，必有实数a>0，b>0，使得I+aA与bI+A都为正定矩阵． 证 由于b?0且矩阵A是正定矩阵，则存在正交矩阵Q，使得

QTAQ?diag(?1,?2,?,?n)．

其中

?i(i?1?,2n,为矩阵A的特征向量，且都大于零，得到

QT(bI?A)Q?bI?diag(?1,?2,?,?n)?diag(b??1,b??2,?,b??n)．

QT(bI?A)Q?QTbIQ?QTAQ．故

所以，b??i?0(i?1,2,?,n)，即证明bI+A为正定矩阵．

同样，取a?11，则I?aA?(bI?A)，同理可得I+aA为正定矩阵． bb*

k 性质6 若矩阵A是正定矩阵，则矩阵A、A（k是正整数）都是正定矩阵．

证 由于矩阵A是正定矩阵，则得到矩阵A?1也是正定矩阵，且矩阵A的特征根

?i(i?1,2,?,n)?0．

则矩阵A的特征值?ik(i?1,2,?,n)?0，所以矩阵A（k是正整数）是正定矩阵．又因为

kkA*?AA?1，且A?0，所以矩阵A*是正定矩阵．

性质7 正定矩阵A中绝对值最大的元素一定在主对角线上．

证 通过反证法假设aij(i?j)是正定矩阵A中绝对值最大的一个元素，取矩阵A的二阶式得到

??aiiaijaijaii?aiiajj?aijaij．

2由于??0，则得到aiiajj?aijaij?aij，即aiiajj的绝对值大于aij．所以aii=aij或ajj?aij，

即证明正定矩阵A中绝对值最大的元素一定在主对角线上．

性质8 假设矩阵A、C都是实方阵（阶数可以不同），如果??ATB?B??是正定矩阵，则C?ABTB?AC． C 4

为证明此性质我们先引入一条辅助性质：若?阵．

证 由于??AT?BB?T?1?是正定矩阵，则C?BAB也是正定矩C??AT?BB??1AA是正定矩阵，则得到矩阵是正定矩阵，有逆矩阵．令 ?C??I?A?1B?P???．

I??0则

0??IPT???1?．

??ABI?因此PT??ATB?B?0?A?T?1为正定矩阵，所以子矩阵C?BAB也是正定矩阵． P???T?1?C?0C?BAB??再看性质8 证 由于??ATB?B??1?是正定矩阵，则矩阵A是正定矩阵，并有逆矩阵A．设I1，I2分别是与C?0??A??I2??BTB??I1??C??00?BTA?1??A????T?1?． I2??0C?BAB?矩阵A、C同阶的单位矩阵，则

?I1 ?T?1??BAT?1由于上式右端与原矩阵合同，因此也是正定矩阵，得到C?BAB?0．对上式两边取行列式得

到

ABTB?AC?BTA?1B． CT?1T?1T?1T?1又因为C?(C?BAB)?BAB?C?BAB，由辅助性质得C?BAB也是正定矩阵，

即C?C?BAB成立，所以

T?1ABTB?AC． C

3矩阵的应用

3.1正定矩阵在矩阵运算中的的应用

根据判定正定矩阵的各类等价条件及其各类性质我们可以了解得出一下若干种应用： （1）若A与B是同阶正定矩阵，则A?B也是正定矩阵．

证 由于矩阵A、B是正定矩阵，则矩阵A、B是实对称矩阵，并且对于任意的Xn?1?0，都

5

有有XAX?0，XBX?0，则(A?B)T?AT?BT?A?B，即A?B也是实对称矩阵，得到

TTXT(A?B)X?XTAX?XTBX?0．

所以矩阵A?B是正定矩阵．

（2）若A与B是同阶正定矩阵，则矩阵AB的特征根都大于零．

证 由于矩阵A、B是正定矩阵，则存在非奇异矩阵P，Q，使得A?PP，B?QTQ，得到

TAB?PTPQTQ?QTQPTPQTQ?QT(PQT)T(PQT)Q．

因此矩阵(PQT)T(PQT)是正定矩阵，所以与矩阵(PQT)T(PQT)相似的矩阵AB的特征根都大于零．

（3）若矩阵A、B是同阶正定矩阵，且AB?BA，则矩阵AB也是正定矩阵．

证 由性质（2）得到矩阵AB的特征根都大于零，另外，AB?BA，且矩阵A、B是同阶正定矩阵，得到(AB)T?BTAT?BA?AB，即矩阵AB是实对称矩阵，所以矩阵AB是正定矩阵．

推论：设A是n阶对称阵，B?diag(b1,b2,?,bn)，其中b1,b2,?,bn都大于零，若AB?BA，则矩阵AB也是正定矩阵．

证 由于B?diag(b1,b2,?,bn)，且bi(i?1,2,?,n)?0，则得到矩阵B是正定的对称阵．再由性质（3）即可证明矩阵AB是正定矩阵．

（4）若矩阵A、B都是n阶正定矩阵，则A?B?A?B． 证 由于矩阵A、B都是n阶正定矩阵，则存在可逆矩阵P，使得

PTAP?diag(?1,?2,?,?n)，PTBP?diag(?1,?2,?,?n)．

其中?i,?i(i?1,2,?,n)?0．因此P两边取行列式得到

2A??1?2??n，PB??1?2??n，将其带入得到

2PT(A?B)P?diag(?1??1,?2??2,?,?n??n)．

PA?B?(?1??1)(?2??2)?(?n??n)??1?2??n??1?2??n?PA?PB．

所以A?B?A?B．

3.2正定矩阵在不等式问题中的应用 3.2.1正定矩阵与一般不等式

实对称矩阵A是正定矩阵是由于其对应的实二次型XAX（其中X?(x1,x2,?,xn)）正定，

T而二次型XAX正定是指对于任意X0?(x01,x02,?,x0n)(其中x01,x02,?,x0n不全为零)恒有

222TTX0AX0?0．由此，我们也可以通过这个性质来证明不等式是否成立．

例1 证明：x1?4x2?2x3?2x1x2?2x1x3（其中xi(i?1,2,3)是不全为零的实数）． 证 由题意可设f(x)?x1?4x2?2x3?2x1x2?2x1x3， 则f(x)对应的矩阵为

222222 6

?1?1?1???A???140?．

??102???1?1?11?1得到矩阵A的顺序主子式：1?0，?3?0，?140?2?0．

?14?102222得到矩阵A是正定矩阵，即f(x)?0，所以不等式x1?4x2?2x3?2x1x2?2x1x3成立．

3.2.1正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为

?xyii?0ni??x?y2ii?0i?0nn2i．

同时，也可将其用内积的形式来表示为??????．设矩阵A?(aij)是一个n阶正定矩阵，对任

nn意向量??(x1,x2,?,xn)，??(y1,y2,?,yn)，我们定义??????aijxiyj，从中我们可以看

出这是n维向量的内积．相反，我们可以得出，对于n维向量间的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A?(aij)使得对任意向量?和?可以由????i?0j?0??axyijii?0j?0nnijnnj来定义．因此，给定了一个n阶正定矩阵，在n维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：

??axyijii?0j?0nnj???axx??aijiji?0j?0i?0j?0nnyiyj．

例2 证明不等式:

22222(x1y1?x2y2?x3y3)?x1y2?x2y3?x3y1?x3y2?2x12?x2?x3?x1x2?x2x3y12?y2?y3?y1y2?y2y3对所有实数x1,x2,x3和y1,y2,y3都成立．

?2?10???证 由题意可得???是由矩阵A???12?1?所定义的,则可以得到矩阵A的顺序主子

?0?12???式：

2?102?12?0，?3?0，?12?1?4?0．

?120?12因此矩阵A是正定矩阵,所以该不等式是由正定矩阵A所确定的内积产生的柯西不等式，即不等式成立．

从该例题中我们也可将不等式推广为：

2?xiyi??(xiyi?1?xi?1yi)?2i?1i?1nn?1?x??xx2ii?1i?1nn?1ii?1?y??yy2iii?1i?1nn?1i?1．

其中n?N，xi,yi(i?1,2,?,n)是任意实数．

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