正定矩阵的性质与应用 (3)

3.3正定矩阵在多元函数极值问题中的应用

关于正定矩阵在多元函数极值的判断中，我们有以下判别法则：

设n元实函数f(x1,x2,?,xn)的一阶偏导数等于零的点为X0?(x10,x20,?,xn0)，且在点X0处所有二阶连续偏导数都存在，则得到矩阵

?fx12(x10,x20,?,xn0)??fx2x1(x10,x20,?,xn0)A?????f(x,x,?,x)n0?xnx11020fx1x2(x10,x20,?,xn0)?fx2(x10,x20,?,xn0)2???fxnx2(x10,x20,?,xn0)?fx1xn(x10,x20,?,xn0)??fx2xn(x10,x20,?,xn0)??．

??fx2(x10,x20,?,xn0)?n?当矩阵A为正定矩阵时，f(x1,x2,?,xn)有极小值f(x10,x20,?,xn0)；当矩阵A为负定矩阵时，

f(x1,x2,?,xn)有极大值f(x10,x20,?,xn0)；当矩阵A不是正（负）定矩阵时，f(x1,x2,?,xn)无

极值；当矩阵A半正（负）定时，f(x1,x2,?,xn)的极值不确定．

证 由于f(x1,x2,?,xn)在X0处所有二阶连续偏导数都存在,则由泰勒公式可得

f(x10??x1,x20??x2,?,xn0??xn)

=f(x10,x20,?,xn0)+(Dx1抖+Dx2抖x1x2+?+Dxn )f(x10,x20,?,xn0) xn ?1???2(?x1??x2????xn)f(x10???x1,x20???x2,?,xn0???xn)（其中2!?x1?x2?xn0???1）．

另外,f(x1,x2,?,xn)在X0处的一阶偏导为零,可以得到

1n2 ?f?(??xifx2(x10???x1,x20???x2,?,xn0???xn)

i2!i?1 ?2???x?xii?1j?i?1nnjfxixj(x10???x1,x20???x2,?,xn0???xn))．

因此可以得到

． fxixj(x10???x1,x20???x2,?,xn0???xn)?fxixj(x10,x20,?,xn0)?aij（i,j?1,2,?,n）其中当?X0(?x1,?x2,?,?xn)?0时，aij?0．故

nn1n2?f?(??xifx2(x10,x20,?,xn0)?2???xi?xjfxixj(x10,x20,?,xn0)

i2!i?1i?1j?i?1nnn ??a?x2ii?12i?2??aij?xi?xj)

i?1j?i?1 8

由于?X0(?x1,?x2,?,?xn)?0时，aij?0（i,j?1,2,?,n），因此存在X0的一个领域，使得在这个区域内?f的符号与f'???xi?1n2ix2if(x10,x20,?,xn0)?2???xi?xjfxixj(x10,x20,?,xn0)i?1j?i?1nn的符号一致，所以由实二次型f'及正定二次型的定义可以证得该判定法则是正确的．

2x12x2例3 讨论函数f(x1,x2)??(p?0,q?0)的极值．

2p2q解 由已知得到fx1(x1,x2)?等于零，因此得到矩阵

x1x令其都等于零，得到在(0,0)处的一阶偏导,fx2(x1,x2)??2，

pq?fx1x1(0,0)A???fxx(0,0)?211p0?1fx1x2(0,0)??p????fx2x2(0,0)???0?0?1q??1?0． pq?0??． 1???q?故得到矩阵A的顺序主子式：

1?0,p所以矩阵A不是正定矩阵，即函数f(x1,x2)无极值．

322例4 求函数f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?12x1x2?2x3的极值．

解 由已知得到fx1?3x1?12x2，fx2?2x2?12x1，fx3?2x3?2， 令fx1?fx2?fx3?0，得到X0?(0,0,1),X1?(24,?144,?1)，得到

2?fx1x1?矩阵A??fx2x1??fxx?31在X0处，得到矩阵A的顺序主子式

fx1x2fx2x2fx3x2fx1x3??6x1122????fx2x3???1220?．

??202?fx3x3????0?0,0121220??144?0,122122200??152?0． 2所以矩阵A不是正定矩阵，即X0不是极值点．

在X1处，得到矩阵A的顺序主子式:

144?144?0,14412122144122?144?0,1229

200?28?0． 2

所以矩阵A是正定矩阵，且X1是极小值点，极小值为f(24,?144,?1)??6913.

4小结

在本文中我们以深刻探讨了正定矩阵在的各类性质及其在矩阵内部、不等式、多元函数极值问题中的应用．作为在矩阵理论中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，根据其性质定理我们还可将其应用于几何学、物理学、概率论以及最优化等诸多学科之中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率．

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