《概率论与数理统计》期末试题一答案

1、 设A与B为互不相容的两个事件，P(B)?0，则P(A|B)? 0 。

2、 事件A与B相互独立，P(A)

3、 设离散型随机变量X的分布函数为 0 x??1

F(x)? a ?1?x?1

且P(X?2)?12?0.4,P(A?B)?0.7, 则 P(B)? 0.5 。

23?a 1?x?2

a?b

16x?2

56 ，则a? ,b? 。

4、 某人投篮命中率为

5、 设随机变量X与Y相互独立，X服从“0-1”分布，p?0.4；Y服从?布?(2)，则E(X?Y)?____2.4_______,

6、 已知D(X)?16,D(Y)?9,?

7、 设总体X服从正态分布

XX2123XY45，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___

4625________。

?2的泊松分

.

D(X?Y)?____2.24_______?13, 则D(X?2Y)?___36___.

N(0,?2),从总体中抽取样本X1,X2,X3,X4,则统

计量

??XX2224服从_______F(2,2)______________分布。

8、 设总体X服从正态分布

为16的样本，样本均值____。（u0.975 9、 若

X~N(?1,?21N(X?,1),其中?为未知参数，从总体X中抽取容量

?5,则总体均值?的95%的置信区间为____（4.51，5.49）

?1.96）

),Y~N(?2,?22)，且

X与Y相互独立，则Z?X?Y服从

______N(?1??2,?21??22)______分布。

1

一、 计算题（每小题10分，共60分）

1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽

样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。

解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：

C6CC82112?37…………………

（2）第二次才取得次品的概率为：

6?28?7＝314………………………

（3）令A1表示“第一次取出的是正品” ，A2表示“第一次取出的是次品” B表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率为：

P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?27?68?17?28?14

……………………………

2、 （10分）设随机变量X的概率密度

f(x)?

Ax?1

0?x?2

0 其它

求：（1）A的值；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{1.5?x?2.5}. 解：（1）由?????f(x)dx?1可得，(Ax?1)dx?1?A???0212………………

所以，

f(x)? ?12x?1 0?x?2

0 其它

（2）F(x)? 0， x?0 ?14x2?x， 0?x?2 ………………….

1 x?2

2

（3）P{1.5?x?2.5}?

2?(?12x?1)dx?1161.5 …………………..

3、 （10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为

0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和Y的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律。 解：（1）X和Y的联合分布律为：

P(X?m,Y?n)?Cm,n分别为0,1,2。m2(0.2)m(0.8)2?mC2(0.5)(0.5)nn2?n?125Cm2Cn2?4(1?m)

………………………………… （2）X和Y的边缘分布律。

由于X与Y相互独立，所以X和Y的边缘分布律分别为： P(X?m)?C2(0.2)(0.8)P(Y?n)?C2(0.5)(0.5)nn2?nmm2?m，m?0,1,2。

，n?0,1,2。……………

4、 （10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f(x,y)?18(x?y), 0?x?2,0?y?2

0， 其它

(X,Y) 求：（1）E(X) （2）D(X) （3）E(XY) （4）COV

解：（1）E(X)?22

??020x?0182(x?y)dxdy18?76?76……………………

532E(X)?22 （2）

??x0?(x?y)dxdy2,1136D(x)?E(X)?(E(X))2?53…………

?()? （3）E(XY)? （4）E(Y)?222??0200xy?018(x?y)dxdy??7643……………………

??y?18(x?y)dxdy

43?76?76??136COV(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?

……………………….

5、 （10分）设总体X的概率密度为 ?x??1, 0?x?1

3

f(x)? 0， 其它

（1） 求?的最大似然估计量；（2）求?的矩估计量。

n解：（1）似然函数为：L(x1,x2,...,xn;?)???xii?1??1n??n(?xi)i?1??1,0?xi?1

……………………………

n取对数为：lnL?nln??(??1)?lnxi……………………….

i?1 由

dlnLd??0得，

n?n??i?1lnxi?0????nn

?i?1lnxi …………………………

??? 则?的最大似然估计量为：?nn。………

i?i?1lnX （2）EX?1?x?x0??1dx????1 ………………………………

X1?X?? 由EX?X得，?的矩估计量为：?……………

三．证明题（本大题共1小题，总计10分） 证：因为

??i?2lniE(Xk)=?2i?1?2?i??i?1122lni???i?114lni???i?11iln4??? (k=1,2,?) (8分)

由辛钦大数定律可知{Xk}服从大数定律.

一、单项选择题

1. 对于事件A和B，下述命题正确的是 ( B )

(A) 如果A与B互不相容，则A与B相互对立 (B) 如果A与B相互对立，则A与B互不相容 (C) 如果A与B相互独立，则A与B互不相容 (D) 如果A与B互不相容，则A与B相互独立

2. 一个寝室住有4个同学，那么他们中至少有两人的生日在一个星期内的同一

天的概率是 ( D )

(A) 0.25 (B) 0.35 (C) 0.55 (D) 0.65 3. 若P（B|A）=0，则下列命题中正确的是 ( B )

4

(A) B?A (B) AB=? (C) A?B (D) A-B=? 4. ?,?相互独立且都服从正态分布N(1,3)，则D(2?2??)? ( C )

(A) -8 (B) 9 (C) 45 (D)60

5. 若函数sinx为随机变量X的概率密度，则X的可能取值区间 ( D )

(A)

[0,2?]

(B)

[0,3?2] (C) [0,?] (D)

[0,?2]

6. 3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是0.3, 0.6, 0.5，

则能将此程序编写成功的概率是（ B ） (A) 0.09 (B) 0.86 (C) 0.14 (D) 0.91 7设A,B是两个事件，则以下关系中正确的是( B ) (A) (C)

(A?B)?B?A (A?B)?B?A (B)

(A?B)?B?B(A?B)?B?AB

(D)

8 10个产品中有8个正品2个次品,从中无放回地任取3个, 则恰有1个次品的概率是（ A ） (A)

715 (B)

815 (C)

160 (D)

745

1. 若P（B|A）=1，则下列命题中正确的是（ C ）

(A) B?A (B) P（A-B）=O (C) A?B (D)A-B=? 9 ?,?相互独立且都服从正态分布N(3,2)，则D(?2?2?)?( B )

(A) 8 (B) 20 (C) －16 (D) 12

10 设X1，X2，X3是来自（0,?）上的均匀分布的样本，?>0未知，则下列样本数中（ C ）不是统计量。 (A)2X1+X2 (B)

min(X1,X2,X3) (C)X3??(X1? (D)14X2?X3)

（统计量无未知数）

11 两个随机变量的协方差cov(?,?)?0,则?,?____Ｃ______.

(A)相互独立 (B)互不相容 (C)不相关 (D)相等

5

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