《概率论与数理统计》期末试题一答案 (3)

?710 2分

2.解：（1）因为?

1x?????????f(x,y)dxdy?1

??0kxydydx?0k8?1?k?8 （2）因

?8xy为f(x,y)???0,0?x?1,0?y?x，其它

fX(x?)x????? y f(x,y ) dx032???8xydy?4xy??0??0?4x,0?x?1 （3）

,其它116方法一：P(X?121)?12?2??fX(x)dx?12

方法二：P(X?)?FX()

?0?4 FX(x)??x??11212116x?00?x?1 x?1P(X?)?FX()?

3.解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”(i?1,2)

P?A??P?B1?P?AB1??P?????B2?P?A??2yB2????Ae23?0.97?134.

?0.98?0.973解：（1）由1????????A?f(x,y)dxdye?x?0?012???(x?2y)dxdy

??0dx???0edy?A 所以A?2

11

（2）X的边缘密度函数：Y的边缘密度函数：（3）因

??fX(x)???????e x?0f(x,y)dy??其他?0,?2y?x

fY(y)?????2e y?0f(x,y)dx??其他?0,

f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以

X，Y是独立的

一、判断题（每小题2分，共20分）

( )1. P(A)?0是事件A为不可能事件的必要但是不充分条件. ( )2. 若事件A,B相互独立，则事件A与B也相互独立. ( )3. 若P(A)?0，对任意事件B，都成立P(B|A)?P(B).

( )4. 对于连续型和离散型随机变量?，?a?R，都有P(??a)?P(??a)成立. ( )5. 二维离散型随机变量的联合分布列和边沿分布列可以相互确定. ( )6. 设二维连续型随机变量(?,?)在D?{(x,y)|x?y?1}上服从均匀分布，

则其联合密度函数为f(x,y)?2221?,(x,y)?D.

( )7. 若r.v?~N(?,?)，则P(|??????|??)?2????1.

???( )8. 若随机变量?、?满足D(???)?D(???)，则?、?相互独立.

2( )9. 从总体X~N(?,?)中抽取样本X1,X2,X3，则

13(X1?X2?X)3和

12X1?14X2?14X3都是总体均值的无偏估计，但前者比后者更有效.

( )10. 参数假设检验的原理是“小概率原理”.

二、填空题（每小题2分，共20分）

1. 从发芽率为0.9的一批种子里,随机地取100粒,用?表示100粒中不发芽 的种子粒数，则 ?~______________.

2. 设p(A)?0.6,p(B)?0.5,且事件A,B相互独立，则P(A?B)?___________．

12

3. 设r.v.?~??0?0.110.32c3??0.25?,则c?_______．

4. 设r.v.?~U[1,5],则P(?1???2)? ．

5. 设F1(x),F2(x)分别为r.v.?、?的分布函数,若F(x)?0.4F1(x)?kF2(x)也是某随机变

量的分布函数, 则k? ． 6. 设

??????f(x,y)为二维随机变量(?,?)的联合密度函数，则

????f(x,y)dxdy? ．

7. 设r.v.?~N(1,4),r.v.?~E(),且?、?独立，则D(2????3)? ．

218. 设r.v.?~B(n,p)，则对于区间

(ab,恒有

ln???Pi?a?m????b??__________________(结果用

?)np(?p1???np标准正态函数?(x)的值来表示).

?1/n?2/m1n29. 设?1~??n?,?2???m?，且?1,?2独立，则有

n2222222~ .

(?,10. 设总体X~N?2,)X??i?1Xi,S?2?n?1(Xi?X),

(n?1)S2i?1?2~-

___________． 得分 评卷人

三、计算题（每小题10分，共60分）

1. 设10件产品中有7件正品，3件次品，每次随机从中抽取一件，直到取到正品为止. 记抽取次数为随机变量?，在下列两种情形下：（1）有放回（2）无放回，分别求r.v.?的概率分布列.

2. 设r.v.?的概率密度函数为f(x)????Ax?1,0,0?x?2;其它，分别求

（1）常数A的值；（2）?的分布函数F(x)；（3）P(1???2.5).

3. 盒子里有3个黑球，2个红球，2个白球，从中一次随机地抽取4个球， X表示其中黑

13

球的个数，而Y表示其中红球的个数，求（1）(X,Y)的联合分布列；（2）(X,Y)边沿分布列.

4. 设二维随机变量(?,?)的概率密度函数为f(x,y)???8xy,?0,0?x?1,0?y?x;其它.

(1)分别求r.v.?与?的边沿密度函数f?(x)和f?(y); (2)判断?和?是否独立.

5. 已知X~N(1,3),Y~N(0,4),?XY??2212,Z?X3?Y2，

求（1）E(Z)和D(Z)； （2）X和Z的相关系数?XZ.

?(??1)x,6. 设总体X的概率密度为f(x)??0,??0?x?1;其它.，其中???1是未知参

数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个简单随机样本.分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.

一、判断题（每题2分，共计20分） 题号 1 2 3 4 5 6 对错 √ √ × × × √ 7 × 8 × 9 √ 10 √ 二、填空题（每题2分，共计20分）.

1、B(100,0.1) 2、0.8 3、0.35 4、0.25 5、0.6 6、1 7、20 8、?(b)??(a) 9、F(n,m) 10、?2(n?1)

三、计算题（每题10分，共计60分）. 1、解：（1）p(? （2） 1 2 ? p?k)?(310)k?1(710)(k?1,2,?) ----------------4分

3 27?1098?34 21??1 1098?3 710 3109?7 ---------------8分

14

即 ? 1 2 3 p4 1120 710 730 7120 ---------------10分 2、解：（1）1???????2f(x)dx??(Ax?1)dx?2A?20

A??12 -----------------2分

x(2)F(x)x????????f(t)dt?????????00dt?0,??x?014x?x,2x(?11212t?1)dt??t?1)dt?1,0?x?2x?2 ------------8分

(?0(3)p(1??3、解： ?2.5)?F(2.5)?F(1)?14 --------------------10分2 1 6 3 0 10 X Y 0 1 2 3 p0 0 0 3 2 1 0 6 12 2 20 pi? 1 12 18 4 ?j 5 上式中分母为35 -----------10分

4、解：(1)

??f?(x)?????8xydy?4x3,?f(x,y)dy???0??01x0?x?1其它 ------------4分

??f?(y)?????8xydx?4y(1?y2),??f(x,y)dx??y?0?320?y?1其它 ----------8分

?16xy(1?y),(2)?f?(x)f?(y)??0?0?x?1,0?y?x其它?f(x,y)

??,?不独立. ---------10分

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