25.4(2)解直角三角形的应用

填空 在Rt ABC 中, ∠C=90°. 2= a2+b2 c (1) 三边的关系是

B

cA

abC

(2) 锐角的关系是 ∠A+∠B=90°

(3)边角的关系是 (其中A可以换成B) B 的对边 ∠A ∠B A的邻边 sinA= cosA = B B 斜边 斜边

tanA B =∠B A的邻边

∠B A的对边

∠B A的邻边 cotA B = ∠A的对边 B

定义: 在Rt 中, 除直角外,一共有5个元素(三边和两锐角), 由Rt 中除直角外的已知元素, 求出未知元素的过程, 叫做解直角三角形 .

特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

想一想P21

船有触礁的危险吗A

如图,海中有一个小岛A,该岛四 周10海里内有暗礁.今有货轮由 西向东航行,开始在A岛南偏西 55°的B处,往东行驶20海里后到 达该岛的南偏西25°的C处.之后, 货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触 礁的危险吗?北 东

A

请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?B C D

要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图.

问题解决

真知在实践中诞生 解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要 过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁 的危险.根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC= 20 北 A 海里.设AD=x海里.数学化

?

BD CD tan 55 , tan 25 , x x BD x tan55 , CD x tan25 .

东

55° 25°

x tan55 x tan25 20. B C 20 20 x 20.79 海里 . tan 55 tan 25 1.4281 0.4663

┌ D

答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.

想一想 P21

古塔究竟有多高 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 现在你能完成这个任务吗? 要解决这问题,我们仍需将 其数学化. 请与同伴交流你是怎么想 的? 准备怎么去做?

问题解决

行家看“门道” 这个图形与前面的图形相同,因此解答如下. 解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m, 则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m. DAC BC tan ADC , tan BDC , x x AC x tan60 , BC x tan30 .

这样 解答

?

x tan60 x tan30 50.

30°

60

A

50m

B

┌ C

°

50 x tan60 tan30

50 3 3 3

25 3 43 m .

答:该塔约有43m高.

老师期望:这道题你能有更简单的解法吗？

做一做P22

楼梯加长了多少

某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼 梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确 到0.01m).

现在你能完成这个任务吗? 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?

B

A

D

┌ C

问题解决

联想的功能

解:如图,根据题意可知,∠A=3

5°,∠BDC=40°,DB=4m.求 (1)AB-BD的长. B BC sin 40 , BD 4m

BC BD sin 40 . ° ° 35 40 BC ┌ sin 35 , A D C AB BC BD sin 40 4 0.6428 AB 4.48 m . sin 35 sin 35 0.5736

AB BD 4.48 4 0.48 m .

答:调整后的楼梯会加长约0.48m.

问题解决

联想的功能

解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m. 求(2) AD的长.BC BC tan 40 , DC . DC tan 40 BC AC BC . tan 35 , tan 35 AC

B4m 35° 40°

AD AC DC 1 1 BC tan35 tan 40

A

D

┌ C

1 1 BD sin 40 m . 0.61 tan35 tan 40

答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.

随堂练习P22

钢缆长几何

如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且 DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED 的长度为多少?(结果精确到0.01m).E 怎么做?我先将它 数学化!

2m

C

40°

D

5m

B

问题解决

真知在实践中诞生,

解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°,EC=2m,DB=5m.求DE 的长. BC E tan 40 BD BE BC 2 BD tan40 2 6.1955 (m).

BC BD tan40 .

2m

就这样

BE 5 tan 40 2 tan BDE 1.24. BD 5∴∠BDE≈51.12°.

C

?

DB cos 51 .12 , DE DB 5 DE 7.96 m . cos 51.12 0.6277

D

40°

5m

B

答:钢缆ED的长度约为7.96m.

随堂练习P22

大坝中的数学计算

如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长 CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石 方?(结果精确到0.01m3 ) A D 咋办?

B

C

先构造直 角三角形!

问题解决

解答问题需要有条有理A B┌ 6m D135°

解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小. 过点D作DE⊥BC于点E,过点A作 AF⊥BC于点F.则EC DE DC sin 45 4 2,有两个直 角三角形 先作 辅助 线!

┐

8m

F 30m E

C

AF DE 4 2, BF 30 6 4 2 24 4 2.AF 4 2 tan ABC , BF 24 4 2∴∠ABC≈17°8′21″.

答:坡角∠ABC约为17°8′21″.

问题解决

计算需要空间想象力A┌ 6m D

解:如图,(2)如果坝 长100m,那么修建这个 大坝共需多少土石 B 方?(结果精确到 0.01m3 )再求 体积!

AD BC AF 由梯形面积公式 S 得,2

30m

F

C

100m

先算面 积!

36 4 2 S 72 2. 2

V 100S 100 72 2 10182 .34 m3 .

答:修建这个大坝共需土石方约 10182.34m3.

回味无穷

由锐角的三角函数值求锐角30 30

填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)sin A 1 2 ∠A= 30 sin A 3 ∠A= 60 sin A ∠A= 45 2 2 2

1 cos A ∠A= 60 cos A 2 ∠A

= 45 cos A 3 ∠A= 2 2 2tan A 3 ∠A= 3 45 60 tan A 1 ∠ A= ∠ A= tan A 3

问题: 在Rt 中除直角外的5个元素(三边和两锐角) , 已知几个元素,可以求出其余的未知元素? c 利用三个关系研究这个问题. (1) 三边的关系 c2= a2+b2 A关系式中有a,b,c三个量 , 已知两个可求出第三个. (2) 锐角的关系

B

aC

b

∠A+∠B=90°

关系式中有A,B两个量 , 已知一个可求出另一个. (3)边角的关系(其中A可以换成B)sinA=∠A的对边

斜边

∠A的邻边 tanA=∠A的对边 cotA= ∠A的邻边 cosA= ∠A的对边 ∠A的邻边 斜边

每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.

结论: 利用三个关系,在Rt 除直角外的5个元素中, 知道 其中的2个元素(至少有一个是边), 就可以求出其余的三 个未知元素.

下课了!

结束寄语悟性的高低取决于有无悟“心”, 其实,人与人的差别就在于你是否 去思考、去发现.

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