2010_数学校内竞赛试题

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数学?贝壳资源部共23页（第1页） 2011年5月北京科技大学数学与应用数学

北京科技大学2010年数学竞赛题解

林铮远任贤峰统稿白薇贺林溪薛美美王婷校审

【说明】本卷试题仅反映2010年命题范围和难度。卷中涉及的题目及考点出现或不出现在2011年的考试，参考解答中的思路代表或不代表命题者原始意图，命题出处的引用属于或不属于最早出现试题，均以等可能性发生。全卷力求一题多解，不仅站在数学系严密的逻辑角度，还适当兼顾工科数学的技巧性。由于解答时间仓促，加上解题者水平有限，尽管请数学系的大牛们仔细校对，难免有疏漏之处，请读者不吝指正。最后的校对过程中我们也参阅了命题者胡志兴老师的讲评与解答讲义。

一、选择题

1. 设函数()f x 与()g x 均可导，且()()f x g x <，则必有（ ▲ ）

（A ）()()f x g x ''< （B ）()()f x g x ->-

（C ）()()000000lim lim x x x x x x x x f t dt g t dt x x x x →→<--?? （D ）()()00,x x

x x f t dt g t dt x

【答案】C

【解析】A 项与B 项显然能容易地举出反例。

对于D 选项，若取0x x =，则

()()00000x x x x f t dt g t dt ==?? C 项是00

不定式，利用L Hospital '法则，有()()()()001000lim 1x x x x f t dt f f x x x x x ξ→==→-?，()()()()002

000lim 1

x x x g t dt g g x x x x x ξ→==→-? 由条件()()f x g x <成立，则C 项显然成立。（,f g 可导则必连续，因此极限值为在该点的

函数值）

当然同样可利用积分第一中值定理，

()()()()()()000010

00lim lim lim x x x x x x x x f t dt f x x f f x x x x x ζζ→→→-===--? ()()()()()()000020

00lim lim lim x x x x x x x x g t dt g x x g g x x x x x ζζ→→→-===--?

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共23页（第2页） 2011年5月

2. 设函数()f x 满足：对任意x ∈ ，()()2f x f x =+，()1

f =

，又在()1,1-有()f x x '=，则72f ??

= ???（ ▲ ）（A ）

12 （B ）

（C ）1

（D ）0

【考点】函数周期性【答案】D

【解析】()()22f x f x T =+?=的周期函数

又()[)(]

(),0,11,08,1,0x x f x f x x ?∈?'==??-∈-??()[)(]2

211,0,18211,1,082

x x f x x x ?+∈??=??-∈-??

则2

71111140222822f f f ??

??????

-+=-=-?= ? ? ? ?????????

3. 下列广义积分收敛的有（ ▲ ）

（A ）

201dx x

+∞

（B

）

0+∞

（C ）1

11dx x

-? （D ）

1dx x +∞

-∞+?

【考点】考查反常积分收敛。【答案】D 【解析】（C ）项为定积分，排除。对（A ）选项，0是它的瑕点，+∞是其无穷点。

111222220

0110011

111111lim lim lim lim v v u v v u u u dx dx dx dx dx x x x x x x x +++∞

+∞→+∞→+∞→→????=+=+=-+- ? ? ? ?????

???? 01

1lim(1)lim 1v u u

v +

→+∞→??=-+-=∞ ???

对（B

）选项，

+∞

+∞=+?

??，同理它也发散；

对（D ）选项，0022222

0011111lim lim 11111v u u v dx dx dx dx dx x x x x x +∞

+∞-∞-∞→-∞→+∞=+=++++++????? ()()lim arctan 0arctan lim arctan arctan 02

u v u v π

π→-∞

→+∞

-+-=

（A ）、（B ）、（D ）均为最简单的反常积分，大多出自课本例题和习题，例如（D ）的积分出自

数学?贝壳资源部共23页（第3页） 2011年5月数学分析上册（第三版），高等教育出版社，P267，例题4.

4. 在[]0,π

上方程3sin cos x x a a ?=> ??

的实根个数为（ ▲ ）（A ）0 （B ）1

（C ）2

（D ）3 【考点】函数方程的根

【答案】A

【解析】此题不严密。用极端排除法，取2a =，则显然没有实根。

此题的严密解法如下：

令()[]3

sin cos ,0,f x x x x π=∈ ()()

32sin cos sin 1cos cos f x x x x x x ==- 11cos 211sin 21sin 2sin 4224

8x x x x +??=-=- ??? ()1150cos 2cos 40cos 2cos 40,,,2236f x x x x x x πππ'=?

-=?=?= 因为给定为闭区间，只需考察稳定点和端点的值就可以算出最值：

()00f =，()0f π=

，3f π??= ???

，56f π??= ???

显然最大值为16

，故与直线y a a ?=> ??

无交点.

5. 如果级数1n n a

∞=∑收敛，级数1n n b ∞=∑绝对收敛，则1n n n a b ∞=∑（ ▲ ）

（A ）条件收敛

（B ）绝对收敛（C ）发散

（D ）不确定【考点】级数收敛的条件

【答案】B

【解析】1n n a

∞=∑收敛，则必有lim n n a →∞

=0 这就是说()01,0,..,1n N s t n N a εεε?>=?>><=，记{}12max ,,,,1N M a a a =… 即n a M ≤.

这样我们很容易能证得1n n n a b

∞=∑绝对收敛.

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共23页（第4页） 2011年5月

n b

∞

=∑绝对收敛，则0,0,..,0,N s t m N p ε?>?>>?>使得

12m m m p b b b ε++++++<… 则对上述的ε与m ，有

()

112212m m m m m p m p m m m p a b a b a b M b b b M ε++++++++++++<+++<…….

即

n n

n a b

∞

=∑绝对收敛

此外，若用比较判别法，有lim

lim 0n n n n n n

a b a b →∞

→∞

==，且1

n n b ∞=∑收敛，则知道1

n n n a b ∞=∑收敛，即1

n n n a b ∞

=∑绝对收敛

6. 若()

lim

20101n n n n α

→+∞

=--，则（ ▲ ）

（A ）20091

,;20102010αβ=

= （B ）20091

,;20102010αβ=-

= （C ）20091

,;20102010

αβ=

=- （D ）20091

,;20102010

αβ=-

=- 【考点】数列极限，等价代换。

【答案】B

【解析】这道题是选择题部分之中最精彩，也是最富有技巧性的题。该类型题最早出现在1976年俄罗

斯数学竞赛中。以下是其基本解法： ()

lim

1111111n n n n n n n n n n n α

αβ

-→+∞

→+∞

==????--????---- ? ? ?

? ? ?????

利用等价代换111n n β

β??

-- ???

（*）

()

lim

1n n n n n n n n n n

ααββ

-+→+∞

→+∞

==--，从选项可知β为常数，这样必须要求1

αβ-+

也为常数，若不然则不可能得到收敛值2010，又因n →+∞，则011αβ≤-+<。

若10αβ-+≠，则1

αβ+-→，与()

lim

20101n n n n α

→+∞

=--矛盾；

故10αβ-+=，这时

120102010

ββ

=?=

，因此2009

2010α=-。

数学?贝壳资源部共23页（第5页） 2011年5月值得指出的是（*）成立的原因（非数学专业的同学可不参阅）：

这个等式出自卓里奇《数学分析》第一卷，P126 例题40：

证明当0x →时，()()11x x o x α

α+=++ 援引其证明过程：当0α≠时，

()()()()()ln 1000011ln 1ln 111lim lim lim lim ln 1x t x x t x x x x e e x x x t x

αααααα+→→→→+-++--===+ ；当0α=时，结论显然成立；

于是当0x →时，()11x x α

α+- ；令1,x n αβ==-，则111n n ββ??--- ???

，也即111n n β

β??-- ??? 补注：由于数列是离散的，必须明确上面公式的运用是在函数条件下，Henie 归结原理保证了它在数列极限时的正确性。

事实上，在解题时我的直觉是可以反向利用.O Stolz 定理。

在菲赫金戈尔茨《微积分学教程》，第一卷中有这样一个例子：考察112k k k

n k n z n

++++=…，显然它是∞∞不定式. 倘若令112,k k k k n n x n y n +=+++=…，应用.O Stolz 定理，便有

()11lim lim 1k n k k n n n z n n ++→∞→∞=--

这个形式已经与题目给出的()lim 1n n n n α

ββ→+∞--已经很为接近！如果我们能将k 的取值由正整

数推广至有理数，那么这个结论可以直接用来解题。数学系的同学可以尝试一下。

倘若能推广，我们知道()

()1111k k k n n k n ++-=-++… 这样()()1111k k k n n k n ++--=++…

由多项式数列极限知，()111lim lim 1

1k n k k n n n z k n n ++→∞→∞==+-- 于是由12009120102010k α==

-=-，112010

k β+== 7. 设()()02

,00,0

x tf t dt x F x x x ??≠=??=??，其中()f x 具有连续的导数且()00f =，则()F x '在0x =处（ ▲ ）

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共23页（第6页） 2011年5月

（A ）连续（B ）不连续（C ）可导

（D ）不确定

【考点】导函数的解析性质【答案】D

【解析】根据导数定义有

()()()()()0

00000lim

lim 0x

x x tf t dt F x F F xf x x x

??→?→+?-'===??=???

（倒数第二个等号利用L Hospital '法则）

故()()()0

2,00,0

x tf t dt xf x x F x x x x ??-≠'=??

=?? 再求其连续性，可导性：

()()()

()

()()

()

()()

22lim 0lim

lim

x x x tf t dt

tf t dt

xf x f x F x F x

x x x ???→?→?→???''?-=-

=-??????

连续两次L Hospital '法则，

()()0

lim 0x F x F ?→''?-()()()

()()

022lim

lim 1133x x f x xf x f x f x x ?→?→'''?????=-=-? 因()f x 具有连续的导数，则()()0

lim 0x f x f ?→''?= 则()()()0

lim 003

x F x F f ?→'''?-=

，因()0f '的值不知，若()00f '=，则连续；若()00f '≠，则不连续. 这样可导性更加难以确定.

注：当时阅卷时候的答案是A ，笔者估计可能考虑的是()F x 在0x =处的连续性。正确答案应该为D.

8. 设∑是曲面()()()22

211072516

x y z z ---=+

≥的上侧，则曲面积分I ∑

（ ▲ ）

（A ）2π- （B ）0 （C ）2π

（D ）π

【考点】第二类曲面积分和Gauss 公式【答案】C

【解析】这道题由经典的一道分析题演变而来。计算难度不大，关键在于对Gauss 公式成立条件的把

握。最早出现在西北大学的考研题中。解答如下：

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