===
，其中r = ()0,,,0P Q R x y z x y z
???++=≠???，注意在原点处函数不可导。 要利用Gauss 公式，根据条件，必须是封闭曲面。因此我们需要构造一个不包含原点的下曲
面，合同曲面构成一个封闭曲面，这样才能使用Gauss 公式。
构造1-∑以原点为球心，半径为r （r 足够小，使之包含在∑曲面内）的上半球面（内法线方
向），2-∑是平面xOy 上区域（法向量向下）()()()2222221,:,12516x y x y x y r ??--??+≥+≤??????
，又记Ω为∑与1-∑、2-
∑所围立体，则由
Gauss 公式知
1200I dxdydz --Ω
∑∑∑=
==????? .
由此得
12120I I I --∑∑?? =-+=-- ??? 注意到2-
∑上0,0z dz ==，故有10I =，从而有1
231I I xdydz ydzdx zdxdy r +∑=-=
++??. （2+
∑表示外法线的上半球面）
再添平面xOy 上区域2223:x y r -∑+≤，并记1+∑与3-∑围成的半球体为Ω ，则 133
31{}I xdydz ydzdx zdxdy r +--∑∑∑=-++???? 333131430223dxdydz r r r ππΩ??=+== ??????
. 本题容易错选B 。这是因为没有考虑到在点()(),,0,0,0x y z =处不可微，这样与Gauss 公式
要求的封闭曲面中函数一阶偏导连续矛盾.
9. 设函数()f u 具有二阶连续导数，函数()sin x z f e y =满足方程22222x z z ze x y ??+=??，()00f =，()01f '=，则()f u =（ ▲ ）
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数学?贝壳资源部 共23页（第8页） 2011年5月 （A ）()()112
u u f u e e -=
-+ （B ）()()12u u f u e e -=
- （C ）()()112u u f u e e -=-- （D ）()()12u u f u e e -=- 【考点】复合函数求导和二阶常系数微分方程求解
【答案】D 【解析】本题不严密。运用排除法，根据条件()00f =和()01f '=就能判断出答案。
数学系同学请按如下思路解题：
因()()
sin x z f u f e y == 有()sin x z dz u f u e y x du x ??'==??，()cos x z dz u f u e y y du y
??'==?? 进一步()()2222sin sin x x z f u e y f u e y x ?'''=+?，()()22cos sin x x z f u e y f u e y y
?'''=-? 代入22222x z z ze x y
??+=??，有 ()()22x x f u e f u e z z ''''=?=
这是二阶常系数微分方程，它又形如u z e λ=的解，再回代如上面的微分方程，得到它的特征
根方程：
2101λλ-=?=±
其通解为12u u z c e c e -=+
利用条件()00f =和()01f '=就能得到12,c c 的解，得()()12u u f u e e -=
-
10.
1n ∞==∑（ ▲ ）
（A
）1（B
）1（C ）0
（D
1 【考点】考查数项级数求和
【答案】A
【解析】本题出自吉米多维奇习题集第2552题，主要用到裂项相消的技巧，难度不大。
因
=-
有1n n k S ==
∑
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????=-+-+????…
??+-??
1=
1=
故有lim 1n n S →∞
=
二、 填空题
1.
极限lim n n
→∞=（ ▲ ） 【考点】数列极限，定积分的性质，分部积分法
【答案】1e -
【解析】本题出自吉米多维奇习题集第2225题，利用定积分的性质求解数列极限
11121lim ln ln ln lim ln n n n n k n k n n n n n n →∞→∞→∞=??=+++= ???∑ (11100)
0ln ln 11xdx x x dx ==-=-?? 故原式等于1e - 2. 设函数()f x 在点a 的某邻域可导，且()0f a ≠，则极限()1lim n n f a n f a →∞????+ ? ??? ?= ? ???
（ ▲ ） 【考点】Taylor 公式求极限
【答案】()
()f a f a e '
【解析】本题曾被北京大学，清华大学等用来作为考研题，主要应用了Taylor 展开式求极限。 由条件()f x 在();U a δ内可导，则根据Taylor 展开式
()()111f a f a f a n n n ο?
???'+=++ ? ?????
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?? ()()()()()()()()1lim 1nf a f a f a f a f a f a n f a f a e n '''→∞'?? ? ?=+= ? ???
3. 极限()40cos sin cos lim sin x x x x
→-=（ ▲ ） 【考点】利用Taylor 展开式求极限 【答案】16
【解析】（适用工科学生）利用等价代换与和差化积
()444400sin sin 2sin sin cos sin cos 22lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x
→→+--=
3
0sin sin sin sin sin sin 222lim sin sin 22
x x x x x x x x x x x x x x x →++--=+- 20001cos sin cos 1lim lim lim 3666x x x x x x x x →→→-==== 最后三个等号连续使用了三次L Hospital '法则.
（又解）本题的函数解析式有点复杂，若采用L Hospital '法则求解需要多步才能消去，改用
Taylor 公式求解。需要指出Taylor 公式是求解函数极限最有力也是万能的工具。
写出sin ,cos x x 的Taylor 展开式
()()()32112sin 13!21!
n n n x x x x x n ο--=-++-+-… ()()24221cos 112!4!2!
n n n x x x x x n ο+=-+++-+… 故有()40cos sin cos lim sin x x x x
→-
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0sin 1sin 12!2!4!6!lim x x x x x x x x οο→????-+--+-+ ???????= ()()2324667401112!3!2!4!6!lim x x x x x x x x x
οο→??????--+--+-+?? ? ?????????= ()46
640312436
lim 8
x x x x x ο→++== 为什么结果不一样？到底是哪个运算出了问题？这也是困扰笔者很久的一个问题。 经过MA TLAB 验算答案为16
，那么第二种所谓的万能解法中到底存在什么错误呢？ 请读者注意第一个等号后的式子，我们对()cos sin x 的展开只到了()()33sin x x οο ，而
分母的阶为4，即使我们再对sin x 展开，使得分子左半部分的阶到了()
6x ο，依然是不合理的。这就是为什么出现错误的原因！所以对()cos sin x 的展开应再多一项，使阶到达()5sin x ο高于分母的阶.
()40cos sin cos lim sin x x x x →-()()2424554
0sin sin 1sin 12!4!2!4!lim x x x x x x x x οο→????-+--++ ???????= ()()424241254011112!3242!4!lim x x x x x x x x x
οο→??????--++--++?? ? ???????= ()4
64016lim 6
x x x x ο→+== 此外，这道题目常会出现的错误是不合理地利用等价代换，致使无法求出正确的极限值。
4. 积分2
0ln 1x dx x +∞
=+?（ ▲ ） 【考点】广义积分的计算
【答案】0
【解析】本题是填空题中相对有难度的题目，主要原因在于给出的积分是带瑕点的在无穷区间上的反
常积分，难以计算。
首先因22ln ln 1x x x x
≤+，则反常积分20ln 1x dx x +∞+?必收敛，所以能求值。 （一解）令1x t
=，则(),0t ∈+∞，作变换有，
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()12
0001
222220
1ln ln 1ln 1ln 1111x t t t t dxx t d dt dt x t t t t t -+∞
-+∞+∞+∞-????==--= ? ?+++??
??+?
??? 则
2
ln 01x
dx x
+∞
=+?
当然这种写法有点不妥当，更为准确的表达方式为：
12
220
01ln ln ln 111x
x x dx dx dx x x x +∞
+∞=++++?
??
（二解）令tan x t =，则0,
2t π?
?
∈ ??
?
，作变换 有
()2
2222220
000ln ln tan ln tan tan tan sec ln tan 11tan sec x t t dxx t d t tdt tdt x
t t πππ
+∞
===++?
??? 22
20
ln tan ln sin ln cos tdt tdt tdt π
ππ=-?
??
这个积分式也为0，这是因为若令2
t π
?=
-，则
022
00
22ln cos ln cos lnsin lnsin 22tdt t d t tdt tdt π
π
ππππ????=--=-= ? ?????????
事实上
2
ln sin tdt π
?
被称为Euler 积分，我们可以求出它的具体值如下：
先做代换2x t =，得到4440
2ln sin 2ln 22ln sin 2ln cos 2
I tdt tdt tdt π
πππ
==
++?
??.
对最后一个积分用代换2
t u π
=
-，得到
420
4
ln 22ln sin 2ln sin 2
I tdt udu π
π
ππ
=
++??
20
l n 22l n s i n l n 222
2tdt I π
π
π
=+=
+?l n 22
I π
?=-
5. 设()f x 在()0,+∞内连续，()13f =，且对任意(),0,x t ∈+∞满足
()()()1
1
1
xt
x t
f u du t f u du x f u du =+?
??，
则()f x =（ ▲ ）
【考点】变上限积分和常微分方程的求解 【答案】3ln 3y x =+
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f u du t f u du x f u du =+???两边求关于t 的导数 得到()()()1x
xf xt f u du t xf t =++?， 利用已知条件()13f =，在上式中令1t =，则有()()113x
xf x f u du x =++?. 现在求关于x 的导数，显然有()()()()33f x xf x f x xf x ''+=+?= 利用变量分离，有()30dy x dx x =>()303ln dy dx x y x C x
?=>?=+ 最后利用()13f =得出3C =.
原方程的解为3ln 3y x =+.
6. 设()f x 在[)0,+∞内可导，
()()00,03x x x f u du f u du x =>??，则()f x =（ ▲ ） 【考点】常微分方程
【答案】()23C
y x =-（C 为任意常数）
【解析】对方程两边求导，有()()()0133
x x f x f u du f x =+? 再次求导，()()()()11333x f x f x f x f x ''=++，也即()32dy x y dx
-=. 当3x ≠时，
123dy dx y x =-()ln 2ln 3y x C ?=--+()
23C y x ?=-（0C ≠，且为任意常数） 当3x =时，有0y =.包含在0C =的情形中.
综上所述，()23C y x =
-（C 为任意常数）
7. 无穷级数()()
()234112132431n n x x x x x n n -+-+-+
【答案】()()1ln 1x x x ++-
【解析】记部分和()()()
23412132431n n n x x x x S x n n =-+-+-???-… ()()()
111112132431n n S x n n ≤-+-+-??- …
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1111++2132431n n ≤++??- … 111n =-
< 由部分和有界，故原级数收敛.（它的收敛性的判别也可直接利用Leibniz 交错级数判别法） 应用收敛级数的性质，记()()()2
3
4
12132431n
n x x x x S x n n =-+-+-+???-……
则()()23
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