1
1231n n x x x
S x x n -'=-+++-+-……
由幂级数的Taylor 展开式()()23
1
ln 11231n n x x x x x n -
+=-+++-+-……
即()()ln 1S x x '=+
则()()()111ln 1ln 11x
x x x S x x dx x x dx x =+=+-+??
()()()()()ln 1ln 11ln 1x x x x x x x =+--+=++-
8. 函数项级数()2
11n
n n x p p
∞=>∑的收敛范围是（ ▲ ）
【考点】幂级数收敛范围的判定
【答案】[]1,1-
【解析】利用Cauchy Hadamard -定理
n x p ρ==0,1
1
,1,1
x x p
x ??
则()2
11n
n n x p p
∞=>∑在[]1,1-上收敛
9. 直线1:101x
y z
L -==-在平面:20x y z π++=上投影的直线方程为（ ▲ ）
【考点】平面直线与平面关系
【答案】33
20x y z x y z -+=-??++=?
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2011年5月
【解析】显然直线L 过()0,1,0P ，方向向量为()1,0,1m =- ，平面π的法向量()1,1,2n =
.
联立110120
x y z
x y z -?=
=?-??++=?，解的直线与平面的交点为()1,1,1Q -.
利用m n ? 求出一个与,m n 都垂直的向量，即()10
11,3,1112
m n ?=-=-i j k
则过点()1,1,1Q -且以m n ?
为法向量的平面为 ()()()()113111033x y z x y z -+--++=?-+=-
则所求直线为33
20x y z x y z -+=-??++=?
本题的解法很多，在此仅举一例。
10. 设()()1
,u x y f t xy t dt =
-?
，其中f 在[]0,1上连续，[],0,1x y ∈，则22u
x
?=?（ ▲ ）
【考点】变上限积分，复合函数求导法则 【答案】()2
2y f xy
【解析】去绝对值是本题的关键，可利用积分上下限来去掉绝对值. ()()()()()()11
,xy
xy
u x y f t xy t dt f t xy t dt f t t xy dt =
-=-+-??
?
()()()()()()11
xy
xy
xy
xy tf t dt f t xy dt xy f t dt tf t dt =-
+-+?
??
?
()()()()()()()()()()10xy xy u
y xy f xy y f t dt xy yf xy xy yf xy y f t dt y xy f xy x
??
=-+++--???
()()0
1
xy
xy
y
f t dt y f t dt =+?
?
()22
22u y f xy x
??=?
11. 设(),u x y 的所有二阶偏导数都连续，()()222
220,,2,,2x u u u x x x u x x x x y
??'-===??则(),2xy u x x ''=
（ ▲ ）；(),2yy u x x ''=（ ▲ ） 【考点】复合函数求导 【答案】
53
x ；43x
-
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【解析】对(),2u x x x =两边关于x 求导得到()(),22,21x y u x x u x x +=，又已知()2,2x u x x x =，则 ()22,21y x u x x +=
两边进一步对x 求导，得()()22,24,20yx yy x u x x u x x ++=；（1）
对已知等式()2,2x u x x x =两边关于x 求导，()(),22,22xx xy u x x u x x x +=（2）
由二阶偏导数都连续推得22u u x y y x ??=
????，利用22220u u x y
??-=??，联立（1），（2）式，解之得 ()()()()54,2,2,,2,233
yx xy yy xx x x u x x u x x u x x u x x ====-
12. 函数()2
2
,4f x y x xy y =++在圆域221x y +≤上的最大值为（ ▲ ），最小值为（ ▲ ）
【考点】二元函数最值问题
【答案】4， -4
【解析】求闭区域上二元函数的最值，不仅要考虑其极值点，也要考虑其区域边界点的值.
先求其稳定点，有2
40
220x y f y f xy y ?=+=??=+=??，显然不存在稳定点，则最值必在边界取到.
由221y x =-，得到()()()()
2232
,41151g x f x y x x x x x x x ==+-+-=--++
令()2
3250g x x x '=--+=
()()535101,,3
x x x or x ?+-=?==-（舍去）
根据g '的符号，可知()g x 在[]1,1-上，在1x =-处达到最小值，在1x =处取到最大值. ()max 1,04f f ==，()min 1,04f f =-=-. 13.
设
20
π
=?
（ ▲ ）
【考点】定积分的计算
【答案】【解析】定积分的计算具有诸多技巧，有时候要通过变量代换、
2220
0π
π
π==?
?
?
220
0sin cos 22
24x x
x dx dx π
ππ??
=
+=- ???
?
?
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32230
2
=
2424x x dx dx πππ
ππ????
--- ? ??????
?
3
223002sin sin 2424x x πππ
ππ??????
=---= ? ???????
?
（又解）令t =，则(
)
2
arcsin 1,x t dx =-=
因此
22C C ===-=-
这就是说
的原函数为C -
则
220
π
π
=?
?
322
230
22
π
π
πππ=
++?
??
=-+-=
在解题过程中，我们曾得到一个错误的解法：
倘若直接
20
0ππ
=-=?
这是因为(
)
C
'
-=
=
读者应当小心注意定积分与不定积分之间的联系与区别。
14. 设Ω是由2
2
,0,1,2,3,4z x y z xy xy y x y x =+=====围成的区域，则积分
xydxdydz Ω
=???（ ▲ ）
【考点】三重积分的变换与计算 【答案】
91
72
【解析】求三重积分的主要方法有投影法和截面积法，作变量代换应考虑使得积分区间和被积函数化
简，当不能两全时应考虑复杂的那一个。 本题适合采用投影法，显然Ω在xOy 平面上的投影为1,2,3,4xy xy y x y x ====围成的积
分区间.
()22
220
x y D
D
xydxdydz xydxdy dz xy x y dxdy +Ω
==+??????
??
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数学?贝壳资源部 共23页（第18页） 2011年5月 其中(){}
:,1,2,3,4D x y xy xy y x y x ==== 现考虑二重积分，作变换u xy y v x =???=??，()[][]{}
:,1,2,3,4S u v u v ∈∈ ()()12,221,y x u v y J v y x y x x
x -?====?-12J v ?= ()24222213111122D S
u xy x y dxdy u uv dudv u du dv v v v ????+=+=+ ? ??????????? 2431311117139123231272u v v ????=-== ? ? ? ??
???
15. 已知三个向量,,a b c 满足1,2,3a b c === ，且0a b c ++= ，则a b b c c a ++=
（ ▲ ） 【考点】向量基本运算
【答案】7-
【解析】由0a b c ++= ，得()2222+22+20a b c a b c a b a c b c ++=+++=
而已知1,2,3a b c === ，则()
22222+2+14a b a c b c a b c +=-+=- 故7a b b c c a ++=-
16. 函数()222
,,f x y z x y z =++在椭球面222
2222x y z a b c ++=上的点()000,,P x y z 处沿外法线方向的方向导数为（ ▲ ）
【考点】方向导数的概念与性质
【答案】4l l ? = ? 【解析】根据已知()222
222
,,222x y z def x y z a b c ?=++. 对?求,,x y z 的偏导数，222
,,x y z x y z a b c ???===，则在点()000,,P x y z 处沿外法线方向向量为000222,,x y z a b c ?? ???
，单位化为l = 000222cos ,cos ,cos x y z la lb lc
αβγ===
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求的偏导数有2,2,2x y z f x f y f z === 按公式()0
222
00000000022222224
2,2,2,,x x y z x y z gradf x y z la lb lc l a b c l
????==++= ? ?????
17. 设(){},1D x y x y =
+≤
，则22
D
I ==（ ▲ ）
【考点】二重积分的变换与计算 【答案】0 【解析】作变换u x y
v x y
=+??
=-?，则[][]1,1,1,1u v ∈-∈-
故得 12u u x
y J v v
x
y
-????=
=-????，即12J =
22111102D
S I vdv --=
===??
对数学系的同学要求直接从
2D
与2
D
为轮换式看出二重积分
为0.
18. 设L +
是从(),0,0A a 经()0,,0B a 到()0,0,C a 再回到(),0,0A a 的三角形，则曲线积分
()()()L I z y dx x z dy y x dz +
=-+-+-=? （ ▲ ）
【考点】第二型曲线积分和Stokes 公式 【答案】2
3a
【解析】画图就能判断L +
为正方向，记()()(),,,,,,,,P x y z z y Q x y z x z R x y z y x =-=-=-
由Stokes 公式
L dxdy dydz dzdx
Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
+
∑
???
++=????
??
有
222xy yz zx L S S S dxdy dydz
dzdx Pdx Qdy Rdz dxdy dydz dzdx x y z z y x z
y x
+
∑
???
++==++???---?
??
??????
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22a a a a ??=+= ??? 数学系的同学还可以利用Stokes 公式的另一种形式
cos cos cos L Pdx Qdy Rdz dS x y z P Q R
α
βγ+∑
???++=?????? 对于平面x y z a ++=
，可求得cos α=
，cos β=
，cos γ=
则
)22133322L Pdx Qdy Rdz a +∑++===?
19. 设()()1ln ,0,1x
u f x du x u =∈+∞+?，则()1f x f x ??+= ???
（ ▲ ） 【考点】变上限积分的性质与运算 【答案】()21ln 2
x 【解析】()1ln 1x
u f x du u
=+? 令1x t
=，则11111111ln ln 1ln 1ln 11111t t x x u t t u f du d dtdef du x u t t t t u u --????=== ? ?++++???????? ()()()2211111ln ln 1ln 11ln ln 1122x
x x x u u u f x f du du du u x x u u u u ??+=+=== ?++?????
20. 设()0f x >，f 连续可微，()11f =，且在右半平面内沿任一分段光滑封闭曲线l 的积分有
()()ln 0x l y ye f x dx f x dy x ??--=???
?? ，则()f x =（ ▲ ） 【考点】Green 公式与常微分方程求解 【答案】1
x x x y xe e =-+ 【解析】取右半平面内沿任一分段光滑封闭曲线l ，记曲线l 围成的封闭图形面积为D .
同时记()()()(),,,ln x
y P x y ye f x Q x y f x x
=-=- 则利用Green 公式，有
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?????????? 即()()()10x f x e f x f x x
'--+= 以下有两种解题法：
（适用理工科学生）
整理()()()1x f x e f x f x x
'+=得到()()()2x xf x xe f x f x '+=，所以 ()()()2x f x xf x xe f x -=，显然()x x xe f x '??= ? ???
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