04-04 高斯积分法及其应用

§4-4 高斯积分法及其应用

由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：

??

1

1 1

1

f( , )d d ；

1

1 1 1

11

f( , , )d d d

其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξη，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式

一维积分的高斯公式

1

n

1

f( )d

H

i 1

i

f( i)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi处的数值，Hi为加数系数，n为积分点数目。

可以证明，

对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。 例如， n=1时

I

1

1

f( )d H1f( 1)１

不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H１=2，ξ＝０，上式均是精确成立的。因为

f( ) C0 C1 1

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