初三数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练

1、如图，已知ABC

△中，10

AB AC

==厘米，8

BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD

△与

CQP

△是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度

为多少时，能够使BPD

△与CQP

△全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度

从点B同时出发，都逆时针沿ABC

△三边运动，求经过多长时间点P

与点Q第一次在ABC

△的哪条边上相遇？

2、直线

3

6

4

y x

=-+与坐标轴分别交于A B

、两点，动点P Q

、同时从O点出发，

同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，

点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A B

、两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ

△的面积为S，求出S

与t之间的函数关系式；

（3）当

48

5

S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点

O P Q

、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

1

2 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，

B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P .

（1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？

4 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），

点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

3 5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点

B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -B

C -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；

（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ

的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．

写出t 的值．

6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；

②当α= 度时，四边形E D B C 是直角梯形，此时AD 的长为 ；

（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

图

16

（备用图）

4 7如图，在梯形ABCD

中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终

点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．

（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =?∠. （1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

C M A

D

E B

F C

图4（备用）

A

D

E B

F C

图5（备用）

A D E B

F C

图1 图2

A D

E

B

F C P

N M 图3

A D E

B

F

C

P

N M

（第25题）

5 9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在

第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；

(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；

(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．

10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E

是边BC 的中点．90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，

求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A D F C G

B 图1 A D F

C G B 图2 A D

F G B 图3

6 11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，

，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．

（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；

（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；

（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．

7 12问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当

12CE CD =时，求AM BN

的值．

类比归纳

在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14

CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN

的值等于 ．（用含n 的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D

，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n

=>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）

方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2） A B C D E F M 图（1） A

B C D E F M N

8 1.解：（1）①∵1t =秒，

∴313BP CQ ==?=厘米，

∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，

∴5BD =厘米．

又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，

∴835PC =-=厘米，

∴PC BD =．

又∵AB AC =，

∴B C ∠=∠，

∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，

又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，

∴点P ，点Q 运动的时间433BP t =

=秒， ∴515443

Q CQ v t

===厘米/秒． ·································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得

1532104x x =+?， 解得803

x =秒． ∴点P 共运动了803803

?=厘米． ∵8022824=?+，

∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过803

秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） ············· 1分

（2）86OA OB == ，

10AB ∴=

点Q 由O 到A 的时间是881

=（秒） ∴点P 的速度是61028

+=（单位/秒） · 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，

2S t = ·········································································································· 1分 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,

9 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865

t PD -=， ······························ 1分 21324255

S OQ PD t t ∴=?=-+ ······································································· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）82455P ??

???

， ···························································································· 1分 12382412241224555555I M M 2??????-- ? ? ???????

，，，，， ···················································· 3分 3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.

∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），

与y 轴交于B （0，－8），

∴OA =4，OB =8.

由题意，OP =－k ，

∴PB =P A =8+k .

在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2，

∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径，

∴⊙P 与x 轴相切.

（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P

在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .

∵△PCD 为正三角形，∴DE =

12CD =32，PD =3， ∴PE

. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，

∴△AOB ∽△PEB ，

∴2,AO PE AB PB PB

=，

∴PB =

∴8PO BO PB =-=，

∴8)P -，

∴8k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,

8)， ∴k =

8， ∴当k

8或k =

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