第四章统计数据的概括性度量
4．1 一家汽车零售店的10名销售人员5月份销售的汽车数量(单位：台)排序后如下：2 4 7 10 10 10 12 12 14 15
要求：
（1）计算汽车销售量的众数、中位数和平均数。
(2)根据定义公式计算四分位数。
(3)计算销售量的标准差。
(4)说明汽车销售量分布的特征。
解：
Statistics
10
Missing 0
Mean 9.60
Median 10.00
Mode 10
Std. Deviation 4.169
Percentiles 25 6.25
50 10.00
75
单位：周岁
19 15 29 25 24
23 21 38 22 18
30 20 19 19 16
23 27 22 34 24
41 20 31 17 23
要求；
(1)计算众数、中位数：
排序形成单变量分值的频数分布和累计频数分布：
网络用户的年龄
1
(2)根据定义公式计算四分位数。
Q1位置=25/4=6.25，因此Q1=19，Q3位置=3×25/4=18.75，因此Q3=27，或者，由于25和27都只有一个，因此Q3也可等于25+0.75×2=26.5。
(3)计算平均数和标准差；
Mean=24.00；Std. Deviation=6.652
(4)计算偏态系数和峰态系数：
Skewness=1.080；Kurtosis=0.773
(5)对网民年龄的分布特征进行综合分析：
分布，均值=24、标准差=6.652、呈右偏分布。如需看清楚分布形态，需要进行分组。
2
3
1、确定组数： ()l g 25l g () 1.398
111 5.64l g (2)l g 20.30103
n K =+
=+=+=，取k=6
2、确定组距：组距＝( 最大值 - 最小值)÷ 组数=（41-15）÷6=4.3，取5
3、分组频数表
网络用户的年龄 (Binned)
分组后的直方图：
客都进入一个等待队列：另—种是顾客在三千业务窗口处列队3排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短．两种排队方式各随机抽取9名顾客。得到第一种排队方式的平均等待时间为7．2分钟，标准差为1．97分钟。第二种排队方式的等待时间(单位：分钟)如下：
5．5 6．6 6．7 6．8 7．1 7．3 7．4 7．8 7．8
要求：
(1)画出第二种排队方式等待时间的茎叶图。
第二种排队方式的等待时间(单位：分钟) Stem-and-Leaf Plot
Frequency Stem & Leaf
1.00 Extremes (=<5.5)
3.00 6 . 678
3.00 7 . 134
2.00 7 . 88
Stem width: 1.00
Each leaf: 1 case(s)
(2)计算第二种排队时间的平均数和标准差。
Mean7
Std. Deviation0.714143
Variance0.51
(3)比较两种排队方式等待时间的离散程度。
第二种排队方式的离散程度小。
(4)如果让你选择一种排队方式，你会选择哪—种？试说明理由。
选择第二种，均值小，离散程度小。
4．4 某百货公司6月份各天的销售额数据如下：
单位：万元
257 276 297 252 238 310 240 236 265 278
271 292 261 281 301 274 267 280 291 258
272 284 268 303 273 263 322 249 269 295
要求：
(1)计算该百货公司日销售额的平均数和中位数。
(2)按定义公式计算四分位数。
(3)计算日销售额的标准差。
解：
Statistics
百货公司每天的销售额（万元）
4
30
Missing 0 Mean 274.1000 Median 272.5000 Std. Deviation 21.17472 Percentiles 25 260.2500
50 272.5000
75
乙的低成本的产品多。
(1)计算120家企业利润额的平均数和标准差。
(2)计算分布的偏态系数和峰态系数。
解：
Statistics
120
Missing 0
Mean 426.6667
Std. Deviation 116.48445
Skewness 0.208
Std. Error of Skewness 0.221
Kurtosis -0.625
Std. Error of Kurtosis
5
100名7～17岁的少年儿童作为样本，另一位调查人员则抽取了1 000名7～17岁的少年儿童作为样本。请回答下面的问题，并解释其原因。
(1)两位调查人员所得到的样本的平均身高是否相同?如果不同，哪组样本的平均身高较大?
(2)两位调查人员所得到的样本的标准差是否相同?如果不同，哪组样本的标准差较大?
(3)两位调查人员得到这l 100名少年儿童身高的最高者或最低者的机会是否相同?如果不同，哪位调查研究人员的机会较大?
解：（1）不一定相同，无法判断哪一个更高，但可以判断，样本量大的更接近于总体平均身高。（2）不一定相同，样本量少的标准差大的可能性大。
（3）机会不相同，样本量大的得到最高者和最低者的身高的机会大。
4．8 一项关于大学生体重状况的研究发现．男生的平均体重为60kg，标准差为5kg；女生的平均体重为50kg，标准差为5kg。请回答下面的问题：
(1)是男生的体重差异大还是女生的体重差异大?为什么?
女生，因为标准差一样，而均值男生大，所以，离散系数是男生的小，离散程度是男生的小。(2)以磅为单位(1ks＝2．2lb)，求体重的平均数和标准差。
都是各乘以2.21，男生的平均体重为60kg×2.21=132.6磅，标准差为5kg×2.21=11.05磅；女生的平均体重为50kg×2.21=110.5磅，标准差为5kg×2.21=11.05磅。
(3)粗略地估计一下，男生中有百分之几的人体重在55kg一65kg之间?
计算标准分数：
Z1=x x
s
-
=
5560
5
-
=-1；Z2=
x x
s
-
=
6560
5
-
=1，根据经验规则，男生大约有68%的人体重在55kg
一65kg之间。
(4)粗略地估计一下，女生中有百分之几的人体重在40kg～60kg之间? 计算标准分数：
Z1=x x
s
-
=
4050
5
-
=-2；Z2=
x x
s
-
=
6050
5
-
=2，根据经验规则，女生大约有95%的人体重在40kg
一60kg之间。
4．9 一家公司在招收职员时，首先要通过两项能力测试。在A项测试中，其平均分数是100分，标准差是15分；在B项测试中，其平均分数是400分，标准差是50分。一位应试者在A项测试中得了115分，在B项测试中得了425分。与平均分数相比，该应试者哪一项测试更为理想?
解：应用标准分数来考虑问题，该应试者标准分数高的测试理想。
Z A=x x
s
-
=
115100
15
-
=1；Z B=
x x
s
-
=
425400
50
-
=0.5
因此，A项测试结果理想。
6
7
4．10 一条产品生产线平均每天的产量为3 700件，标准差为50件。如果某一天的产量低于或高于平均产量，并落人士2个标准差的范围之外，就认为该生产线“失去控制”。下面是一周各天的产量，该
(1)如果比较成年组和幼儿组的身高差异，你会采用什么样的统计量?为什么
? 均值不相等，用离散系数衡量身高差异。 (2)
4．12 一种产品需要人工组装，现有三种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好，随机抽取15个工人，让他们分别用三种方法组装。下面是15个工人分别用三种方法在相同的时间内组装的产品数量：
8
要求：
(1)你准备采用什么方法来评价组装方法的优劣?
均值不相等，用离散系数衡量身高差异。
(2)如果让你选择一种方法，你会作出怎样的选择?试说明理由。
解：对比均值和离散系数的方法，选择均值大，离散程度小的。
方法A 方法B 方法C
平均 165.6 平均 128.7333333 平均 125.5333333
标准差 2.131397932 标准差 1.751190072 标准差
2.774029217 离散系数： V A =0.01287076，V B = 0.013603237，V C = 0.022097949
均值A 方法最大，同时A 的离散系数也最小，因此选择A 方法。
4．13 在金融证券领域，一项投资的预期收益率的变化通常用该项投资的风险来衡量。预期收益率的变化越小，投资风险越低；预期收益率的变化越大，投资风险就越高。下面的两个直方图，分别反映了200种商业类股票和200种高科技类股票的收益率分布。在股票市场上，高收益率往往伴随着高风险。但投资于哪类股票，往往与投资者的类型有一定关系。
(1)你认为该用什么样的统计量来反映投资的风险?
标准差或者离散系数。
(2)如果选择风险小的股票进行投资，应该选择商业类股票还是高科技类股票?
选择离散系数小的股票，则选择商业股票。
(3)如果进行股票投资，你会选择商业类股票还是高科技类股票?
考虑高收益，则选择高科技股票；考虑风险，则选择商业股票。
第五章 概率与概率分布
5.1 略
5.2 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=50%+60%-85%=35%
5.3 因为()()P AB P AB P(AB)=1/3++;()()
P B (A(B+B))=P(AB)P AB =1/3P =+ ()()P A (A(B+B))=P(AB)P AB =1/3-1/9=2/9P =+
5.4 ()()P AB P AB P(AB)P(AB)=1+++;
()()P A|B P AB /()1/6P B ==;
()P AB 1/6*1/31/18∴==
()()P A (A(B+B))=P(AB)P AB P =+;()P AB 1/31/185/18=-=
同理()()P B (B(A+A))=P(AB)P AB P =+；()
P AB =518/ ()()11/185/185/18P A|B P AB /()7/1211/3
P B ---==
=- 5.5 （1）()P(A)P B 0.8*0.70.56==；（2）()P A+B (A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.8*0.7=0.94P = （3）()P A+B (A)+P(B)-2P(AB)=0.8+0.7-2*0.8*0.7=0.38P =
5.6 ()()(A P B|A 96%*75%=0.72P B P ==）
5.7 ()()1/2P A|B P AB /()2/334
P B ===/
9 5.8 贝叶斯公式：
()()()()
k k k P A )P(B|A 10%*20%P A |B 3.63%P A P B|A 10%*20%50%*50%40%*70%=
==++∑ ()()()()
k k k P A )P(B|A 50%*50%P A |B 45.45%P A P B|A 10%*20%50%*50%40%*70%===++∑ ()()()()k k k P A )P(B|A 40%*70%P A |B 50.9%P A P B|A 10%*20%50%*50%40%*70%===++∑
5.9 贝叶斯公式： ()()()()
k k k P A )P(B|A 30%*0.1P A |B 0.249P A P B|A 30%*0.127%*0.0525%*0.218%*0.15===+++∑ ()()()()k k k P A )P(B|A 27%*0.05P A |B 0.112P A P B|A 30%*0.127%*0.0525%*0.218%*0.15
===+++∑ 5.10 P(x=0)=0.25; P(x=1)=0.5; P(x=2)=0.25
5.11 (1) P(x=1)=0.20; P(x=10)=0.01; P(x=100)=0.001
(2)Ex=1*0.2+10*0.01+100*0.001=0.4 5.12 (1) 2
31378
x dx θθ=?,2θ∴= (2) 3213 1.58x Ex dx ==?;21340.158x Dx dx ==? 5.13 (5,0.25)x B ,学生凭猜测至少答对4道的概率为：
(4)(5)P x P x =+==441550550.250.750.250.75C C +=164 5.14 P(x=k)=λ^k×e^(-λ)/k!①
P(x=k+1)=λ^(k+1)×e^(-λ)/(k+1)!②
②/①得 P(x=k+1)/P(x=k)=λ/(k+1)
令P(x=k+1)/P(x=k)>1, 则λ>k+1, k<λ-1
令P(x=k+1)/P(x=k)<1, 则λ
若λ<2, 则P(x=k)随着k 增大而减小, ∴k=1时最大
若λ>2, 则P(x=1)<……
∴k=[λ-1]+1=[λ]是最大
综上, λ<2时,k=1;λ>2时,k=[λ](写成分段的形式,[]是取整符号)
5.16 (1)0.6997 (2)0.5
5.17 173.913
5.18 (1)0.9332 (2)0.383
第六章 统计量及其抽样分布
6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差 1.0σ=盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从()2,N
n σμ的正态分布，由正态分布，标准化得到标准正态分布：
x ()0,1N ，因此，样本均值不超过总体均值的概率P 为： ()0.3P x μ-≤
=P ?≤
=x P ??≤≤ =()0.90.9P z -≤≤=2()0.9φ-1，查标准正态分布表得()0.9φ=0.8159
10 因此，()
0.3P x μ-≤=0.6318 6.2 ()0.3P Y μ-≤
=P ?≤
=x P ??≤≤
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