2008年中国科学技术大学数学分析试题解答(2)

2008年中国科学技术大学数学分析试题解答

|g(x1) g(x2)|=|supf(x1,y) supf(x2,y)|≤sup|f(x1,y) f(x2,y)|

令F(y)=|f(x1,y) f(x2,y)|，则F(y)为[0,1]上连续函数，所以存在

F(y0)=maxF(y).

此时 |x1 x2|<δ,|y0 y0|=0<δ，故

|g(x1) g(x2)|≤sup|f(x1,y) f(x2,y)|=maxF(y)<ε

这说明 g(x)在[0,1]上一致连续，从而g(x)也在[0,1]上连续，证毕。 3. 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导且f′′(x)≥0，证明：

∫

1

f(x)dx≥f().

1证明：因为函数f(x)在[0,1]上二阶可导且f′′(x)≥0，所以由泰勒公式知

f(x)=f(+f′(x )+

12

12

12

12121212

f′′(ξ)(x 2

12

从而有 f(x)≥f()+f′()(x ， 两边从0到1积分，得

∫

1

1111

f(x)dx≥∫[f()+f′()(x )]dx=f(, 证毕.

1

2222

4. 设{xn},{an}为两个非负无穷数列，满足xn+1≤xn+an且级数证明：limxn存在.

n→∞

∑a

n=1

∞

n

收敛，

证明：由已知条件，可设存在M>0使得

∑a

n=1

∞

n

≤M. 因为xn+1≤xn+an，所以

xn x1=

∑(x

k=1

n 1

k+1

xk)≤∑ak≤M，从而 0≤xn≤M+|x1|.

k=1

∞

这说明数列{xn}有界，其必要收敛子列。设{xnk}为其一个收敛子列，xnk→a. 因为级数

∑a

n=1

∞

n

收敛，所以 r>0, N>0,当n>N,p>0时，

n+p 1

xn+p xn=

∑(x

k=n

n+p 1

k+1

xk)≤

∑a

k=n

k

<r ，这个重要性质在证明limxn=a时要用到。

n→∞

ε>0, 存在一个充分大的N>0，使得当nk>N,m>N,m≥nk时

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