2008年中国科学技术大学数学分析试题解答(3)

2008年中国科学技术大学数学分析试题解答

|xnk a|<

ε

2

xnk a<

ε

2

及 xm xnk<

ε

2

两式相加得 xm a<ε (1) 同理可知，nl>m>N时

|xnl a|<

ε

2

a xnl<

ε

2

及 xnl xm<

ε

2

两式相加得 a xm<ε (2) 由(1)(2)可知，当m>N时，|xm a|<ε. 所以 limxn存在，证毕.

n→∞

5. 设实系数多项式序列{fn(x)}在R上一致收敛于实值函数f(x)，证明:f(x)也是多项式. 证明：因为实系数多项式序列{fn(x)}在R上一致收敛于实值函数f(x)，所以 ε>0, N, 使得当m,n>N时，|fn(x) fm(x)|<ε.

又因为fn(x) fm(x)也是多项式，若fn(x) fm(x)不为常数，则当x趋于无穷时，

fn(x) fm(x)也趋于无穷，矛盾！

所以 fn(x) fm(x)=an,m, 其中{an,m}为一无穷小数列。

由上面结论及fn(x)是多项式，可知当n>N时，fn(x)=P(x)+bn, 其中P(x)为某一 固定的多项式，{bn}为某一收敛数列(因为bn bm=an,m为柯西列)。

因为由已知条件 f(x) fn(x)=f(x) P(x) bn一致收敛于0 及 limbn=b,

n→∞

所以有 f(x)=P(x)+b, 即f(x)也是多项式，证毕. 6. 计算曲面积分I=

∫∫(x

∑

2

+x7y2+z3)dS，其中 ∑:x2+y2+z2=1

7

2

解：因为曲面关于平面yoz对称，xy是x的奇函数，所以 类似的，由对称性知

3

z∫∫dS=0.

∫∫x

∑

7

y2dS=0.

∑

注意到曲面关于x,y,z是轮换对称的，所以

222

xdS=ydS=z∫∫∫∫∫∫dS.

∑∑∑

故 I=

27232

∫∫(x+xy+z)dS=∫∫xdS=

∑∑

114222

++==π. (xyz)dSdS∫∫3∫∫33∑∑

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