2008年中国科学技术大学数学分析试题解答

2008年中国科学技术大学数学分析试题解答

2008年中国科学技术大学 数学分析试题解答

试题解答由SCIbird提供

说明：自07南开数分和08北大数分解答之后，再奉献08科大数分试题解答。试题仍在博士家园的博士数学论坛首发，大家若有转载请注明出处。 关于试题先做下如下说明：

这套试题基本保留了9道原题，其中原第三题实在太过糟糕，破坏了试卷整体质量，所以决定舍去，而用另外的试题代替。部分试题按自己的理解修改了条件。第四题增加了两数列非负条件，第十题增加了函数非负连续条件。最后，一并感谢提供试题的网友们。

1. 设f(x)∈C[0,1], 求证：

(1). x0∈[0,1],使得sin

2

(πf(x))=x

0;

2

(2). 若f(x)=x,则sin(πx)=x有且仅有三个根.

证明：(1) 令F(x)=sin

2

(πf(x)) x，则 F(0)≥0,F(1)≤0. 由连续函数零点定理知，

2

存在x0∈[0,1],F(x0)=0. 即 x0∈[0,1],使得sin(2) 令t=πx, g(t)=sint

2

(πf(x))=x.

t

π

. 当t<0时，g(t)>0; 当t>π时，g(t)<0.

故 g(t)=0的根只能分布在[0,π]上。易知g(0)=0，g′(t)=sin2t 由函数图象可知，函数sin2t与

1

π

.

1

π

在[0,π]上只有两个交点t1,t2(0<t1<t2<

π

2

.

g(t)在区间[0,t1],[t2,π]上单调递减，在区间[t1,t2]上单调递增。 因为 g(t1)<g(0)=0, g(t2)>g(=

π

2

1

>0, g(π)= 1<0. 所以，由零点定理知 2

2

g(t)=0在[0,π]只有三个实根，对应sin

(πx)=x有且仅有三个根(分布在[0,1]上)。

2. 设f(x,y)是定义在D=[0,1]×[0,1]上的实值连续函数， 求证：g(x)=sup{f(x,y)|0≤y≤1}在[0,1]上连续.

证明：因为函数f(x,y)在D=[0,1]×[0,1]上连续，所以f(x,y)在D上一致连续。 所以任取ε>0，存在δ>0，使得只要|x1 x2|<δ,|y1 y2|<δ， 就有 |f(x1,y1) f(x2,y2)|<ε. x1,x2∈[0,1],|x1 x2|<δ, 则

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