2008年中国科学技术大学数学分析试题解答(6)

2008年中国科学技术大学数学分析试题解答

8. 设函数f(x,y)在R2上二阶连续可微，满足f| Ω=0, Ω={(x,y)|x+y=1}, 及

x→+∞

22

limf(x,0)=1. 证明：存在一点(x0,y0)，使得Δf|(x0,y0)≥0. 其中Δ为拉普拉斯算子.

注：想了两个星期，最终未能证出，遂放弃之。

9.(15分) 设函数f(x)在R上无穷次可微，且满足f(0)=0,f′(0)≠0.证明： (1). 存在δ>0和定义在( δ,δ)上的可微函数 (t)，使得f( (t))=sint； (2). 求 (t)在t=0处的二阶Taylor展开式.

证明：(1) 令F(t,y)=f(y) sint，由f(x)在R上无穷次可微，知F(t,y)也是无穷次可微的。又f(0)=0,f′(0)≠0，所以 F(0,0)=0,Fy′(0,0)=f′(0)≠0. 由隐函数定理知，存在δ>0和定义在( δ,δ)上的可微函数y= (t)， 使得F(t, (t))≡0，即 f( (t))=sint. (2) f( (t))=sint 两边对t求导，得

2

f′( (t)) ′(t)=cost, f′′( (t))[ ′(t)]+f′( (t)) ′′(t)= sint

由 (0)=0，得 ′(0)=

1f′′(0)

′′ 及 (0)=

f′(0)[f′(0)]3

12

1f′′(0)22

t to(t). +3′′f(0)2[f(0)]

所以

(t)= (0)+ ′(0)t+ ′′(0)t2+o(t2)=

10. 设定义在R上的非负连续函数f(x), 满足f(x)≤ (1). 当a≥1时，f(x)≡0；

(2). 举例说明，当0<a<1时f(x)不一定恒为0.

∫

x

[f(t)]adt (a为常数)，证明：

证明：(1) 用反证法，假设当a≥1时，f(x)不恒为0. 首先，易知当x≤0时，f(x)=0. 令F(x)=调递增，且当x≤0时F(x)=0, F(0)=0. 由f(x)≤

∫

x

[f(t)]adt≥0, 则F(x)在R上连续，单

∫[f(t)]dt 推出 0≤F′(x)≤F

x

aa

(x).

因为假设f(x)不恒为0，从而 x0>0,使得0<F(x0)<1. 由F(x)在R上单调递增

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