2008年中国科学技术大学数学分析试题解答(7)

2008年中国科学技术大学数学分析试题解答

知 0≤F′(x)≤F(x)≤F(x)<1,x∈[0,x0]. 注意到 F(x)e一方面， 另一方面，

x0

a

(

x

)′=[F′(x) F(x)]e

x

x

≤0,x∈[0,x0].

′dx=F(x)eF(x)e()∫

x0

>0;

∫

x0

[F′(x) F(x)]e xdx≤0, 这就产生了矛盾！

从而当a≥1时，f(x)≡0.

0,x≤0

(2) 当0<a<1时, 考虑函数 f(x)= 1

1 a [(1 a)x],x>0

下面验证这样定义的函数f(x)满足题意。显然此f(x)在R上非负连续。 当x≤0时，f(x)≤当x>0时，

∫[f(t)]dt成立；

a

1 a

x

a

∫[f(t)]dt=∫[(1 a)t]

x

a

x

dt=(1 a)

a1 a

11+

1 a

x

1+

a1 a

=[(1 a)x]

11 a

=f(x)

此时也满足 f(x)≤

∫[f(t)]dt.

x

a

后记：今年科大试题质量挺高的，可美中不足的是个别题貌似条件有遗漏，但

试题总的来说还是不错的。第8题，自己尝试许多次都失败了，最终不得部放弃，有些遗憾。07南开、08北大、08科大，对这3套数学分析试题的解答可以说是

SCIbird在博士家园论坛的三部曲吧。由于个人能力有限，解答也许有漏洞，也许不是最简洁的，这里只当抛砖引玉，为大家提供一个参考，大家自己还需要多揣摩揣摩。

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