课时作业13 变化率与导数、导数的计算
1.(2019·湖南株洲模拟)设函数y=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处的切线斜率为
g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是( A )
解析:由y=xsinx+cosx可得y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,则g(t)=tcost,g(t)
?π?是奇函数,排除选项B,D;当x∈?0,?时,y=g(t)>0,排除选项C,故选A.
2??
132
2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t-3t+8t,那么速度
3为零的时刻是( D )
A.1秒末 C.4秒末
2
B.1秒末和2秒末 D.2秒末和4秒末
解析:s′(t)=t-6t+8,由导数的定义知v=s′(t), 令s′(t)=0,得t=2或4, 即2秒末和4秒末的速度为零.
3.(2019·河南林州一中调研)函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x+3xf′(2)-lnx,则f′(2)的值为( B )
7A. 49C. 4
解析:∵f(x)=x+3xf′(2)-lnx, 1
∴f′(x)=2x+3f′(2)-,
2
2
7B.-
49D.-
4
x 1
1
令x=2,得f′(2)=4+3f′(2)-,
27
解得f′(2)=-,故选B.
4
4.(2019·广西五市联考)已知e为自然对数的底数,曲线y=ae+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a=( B )
A.C.e-1
ee-1
2e
xx2e-1B.
e2e-1D.
2e
解析:∵y′=ae+1,
∴切线的斜率为y′|x=1=ae+1, 又切线与直线2ex-y-1=0平行, 2e-1
∴ae+1=2e,解得a=. e
5.(2019·广州模拟)设函数f(x)=x+ax,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )
A.(0,0) C.(-1,1)
3
2
23
2
B.(1,-1)
D.(1,-1)或(-1,1)
解析:∵f(x)=x+ax,∴f′(x)=3x+2ax,
∵曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0, ∴3x0+2ax0=-1,
∵x0+x0+ax0=0,解得x0=±1, ∴当x0=1时,f(x0)=-1, 当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.
1
6.(2019·广东深圳模拟)设函数f(x)=x++b,若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切
3
2
2
x线经过坐标原点,则ab=( D )
A.1 C.-1
B.0 D.-2
111
解析:由题意可得,f(a)=a++b,f′(x)=1-2,所以f′(a)=1-2,故切线方程
axa112?1??1?是y-a--b=?1-2?(x-a),将(0,0)代入得-a--b=?1-2?(-a),故b=-,故
a?a?
a?a?
aab=-2,故选D.
7.(2019·乐山模拟)已知函数f(x)=e-2e+ax-1,曲线y=f(x)上存在两条斜率为3的切线,则实数a的取值范围为( B )
A.(3,+∞) 7??C.?-∞,?
2??
2xx?7?B.?3,?
?2?
D.(0,3)
2
解析:f(x)=e-2e+ax-1的导函数为f′(x)=2e-2e+a,由题意可得2e-2e
2xx2xx2xx?x1?27-2a,即为ex=1+7-2a或ex=1-7-2a,即有7
+a=3的解有两个,即有?e-?=
2?42222?
7
-2a>0且7-2a<1,解得3<a<.
2
8.(2016·山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( A )
A.y=sinx C.y=e
xB.y=lnx D.y=x
3
解析:设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f′(x1)·f′(x2)=-1即可.y=f(x)=sinx的导函数为f′(x)=cosx,则f′(0)·f′(π)=-1,故函数y=sinx具有T性质;y=f(x)=lnx的导函数为f′(x)11x=,则f′(x1)·f′(x2)=>0,故函数y=lnx不具有T性质;y=f(x)=e的导函数为
xx1x2
f′(x)=ex,则f′(x1)·f′(x2)=ex1+x2>0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的
导函数为f′(x)=3x,则f′(x1)·f′(x2)=9x1x2≥0,故函数y=x不具有T性质.故选A.
9.(2019·大庆模拟)函数f(x)=xe的图象在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角e形面积为 .
4解析:f′(x)=e+xe=e(x+1), ∴切线斜率k=f′(1)=2e,
∴曲线y=f(x)在(1,e)处的切线方程为y-e=2e(x-1), 即y=2ex-e.
xxxx2
22
3
?1?∵y=2ex-e与坐标轴交于点(0,-e),?,0?, ?2?
11e
∴y=2ex-e与坐标轴围成的三角形面积S=×e×=.
224
10.(2019·上饶模拟)若点P是曲线y=x-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为 2 . 2
2
解析:由题意知y=x-lnx的定义域为(0,+∞),当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时,点P到直线y=x-2的距离最小,如图所示.
3
1
故令y′=2x-=1,解得x=1,
x故点P的坐标为(1,1).
|1-1-2|
故点P到直线y=x-2的最小值dmin==2.
211.已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围. 解:f′(x)=3x+2(1-a)x-a(a+2).
??f0=b=0,
(1)由题意,得?
?f′0=-a?
2
3
2
a+2=-3,
解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程f′(x)=3x+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)+12a(a+2)>0, 12
即4a+4a+1>0,所以a≠-. 2
1??1??所以a的取值范围为?-∞,-?∪?-,+∞?. 2??2??
12.(2019·福州质检)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
7
解:(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.
41b当x=2时,y=.又f′(x)=a+2,
2x2
2
bxb12a-=,??22于是?b7
a+??4=4,3故f(x)=x-.
??a=1,解得?
?b=3.?
x(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,
3
由y′=1+2,知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为
xy-y0=?1+2?(x-x0),
?x0?
?
3? 4
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