（电子版）第3章第1节习题

第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角与斜率 习题

例1 如图3.1-5，已知A（3,2）,B（-4,1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线倾斜角是锐角还是钝角.

1?21?; 解：直线AB的斜率KAB??4?37?1?1-21??-; 直线BC的斜率KBC?0?（?4）42直线CA的斜率KCA??1?2-3??1; 0?3?3由KAB>0及 KCA>0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由KBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角.

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1,2及-3的直线l1，

l2，l3及l4.

分析：要画出过原点的直线l1，只需再找出位于l1上的某一点A1来，A1的坐标可以由OA1的斜率确定.

解：设A1（x1,y1）是直线l1上的一点，根据斜率公式有 1?即x1?y1.

设x1?1，则y1?1，于是A1（1,1）的直线即为l1，如图3.1-6. 同理，由?1?y2?0，得y2??x2.设x2?1，则y2??1.于是得直线l2上x2?0y1?0， x1?0的一点A2的坐标为（1，-1）.过原点及A2（1，-1）的直线即为l2，

同理可知，l3是过原点及A3（1,2）的直线，l4是过原点及A4（1，-3）的直线.

练习

1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1)a=30゜; (2)a=45゜; (3)a=120゜; (4)a=135゜.

2.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： （1）C（18,8）， D（4，-4） （2）P（0,0）， Q（-1，3）

3.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角： （1）A（a,c）, B(b,c); （2）C (a,b) , D(a,c); （3）P (b,b+c), Q(a,c+a).

4.画出经过点（0,2），且斜率分别为2与-2的直线.

3.1.2两条直线平行与垂直的判定

例3 已知A（2,3），B（-4,0），P（-3,1），Q（-1,2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论. 解：如图3.1-8， 直线BA的斜率KBA?3?01?，

2?（-4）22?11?.

?1?（-3）2 直线PQ的斜率KPQ? 因为KBA?KPQ,所以直线BA//PQ.

例4 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0,0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 解：如图3.1-9，

1AB边所在直线的斜率KAB??,

21CD边所在直线的斜率KCD??,

23BC边所在直线的斜率KBC?,

23DA边所在直线的斜率KDA?.

2因为KAB= KCD，KBC= KDA，所以AB//CD,BC//DA.

因此四边形ABCD是平行四边形.

例5已知A（-6,0），B（3,6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.

2 解：直线AB的斜率KAB?

32直线PQ的斜率KPQ??

322由于KAB KPQ= ×（?）=-1，

33所以直线AB⊥PQ.

例6 已知A（5，-1），B（1,1），C(2,3)三点，试判断△ABC的形状. 分析：如图3.1-11，猜想AB⊥BC, △ABC是直角三角形.

1 解：AB边所在直线的斜率KAB?-，

2BC边所在直线的斜率KBC?2，

由KABKBC=-1，得AB⊥BC,即∠ABC=90゜. 所以△ABC是直角三角形.

练习

1判断下列各对直线平行还是垂直：

（1）经过两点A（2,3），B（-1,0）的直线l1，与经过点P（1,0）且斜率为1的直线l2；

（2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点M（1,-4）且斜率为-5的直线l4；

2.试确定m的值，使过点A（m,1）,B(-1,m)的直线与过点P（1,2），Q（-5,0）的直线

（1）平行 （2）垂直.

习题3.1 A组

1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。

2.已知四边形ABCD的四个顶点是A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),D(-2,2),求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率.

3.已知直线的斜率k?2，A（3, 5），B（x，7），C（-1，y）是这条直线上的三个点，求x和y的值.

4.(1)m为何值时，经过两点A（-m，6），B（1,3m）的直线斜率是12？

(2)m为何值时，经过两点A（m，2），B（-m,-2m-1）的直线倾斜角是60゜？5.已知A（1, 2），B（-1，0），C（3，4）三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？

6.判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行： （1）l1的斜率为2，l2经过点A（1, 2），B（4，8）；

（2）l1经过点P（3, 3），Q（-5，3），l2平行于x轴，但不经过P,Q两点； （3）l1经过点M（-1, 0），N（-5，-2），l2经过点 R（-4, 3），S（0，5）. 7.判断下列各小题中的每对直线是否垂直：

21（1）l1的斜率为-，l2经过点A（1,1），B（0，-）；

32（2）l1的倾斜角是45゜，l2经过点P（-2,-1），Q（3，-6）；

（3）l1经过点M（1, 0），N（4，-5），l2经过点 R（-6, 0），S（-1，3）. 8. 已知A（1, -1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D的坐标，使直线CD

⊥AB，且CB⊥AD.

B组

1.已知 点M（2, 2），和N（5，-2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标.

2. l1经过点A（m, 1），B（-3，4），l2经过点 C（1, m），D（-1，m+1）,当直线l1与l2：（1）平行；（2）垂直时，分别求m的值.

3. 已知四边形ABCD的顶点是A(2,2+22),B(-2,2),C(0, 2-22),D(4,2),求证：四边形ABCD为矩形.

4. 已知四边形ABCD的顶点是A(m,n),B(6,1),C(3, 3),D(2,5),求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.

5.过两点A(m2+2, m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45゜，求m的值. 6.经过点P（0,-1）作直线l，若直线l雨理连接A(1,-2),B(2,1)的写线段总有公共点，找出直线l的倾斜角?与斜率k的取值范围，并说明理由.