南京外国语学校2015-2016学年八年级下期中数学试卷含答案解析

∴42＜a＜46， ∴a=45，b=50．

答：甲队做了45天，乙队做了50天．

【点评】本题考查了分式方程的应用、解一元一次不等式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据总工程量=甲队完成的部分+乙队完成的部分列出关于x的分式

方程；（2）总工程量=甲队完成的部分+乙队完成的部分列出关于a、b的二元一次方程．

30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）分别从∠EDF=90°与∠DEF=90°两种情况讨论即可求解．

【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°， ∴∠C=90°﹣∠A=30°． ∵CD=4tcm，AE=2tcm，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2tcm，

∴DF=AE；

（2）解：∵DF∥AB，DF=AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t=2t， 解得：t=10，

即当t=10时，?AEFD是菱形；

（3）解：当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；

当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）． 理由如下：

当∠EDF=90°时，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30° ∴AD=2AE ∵CD=4tcm， ∴DF=AE=2tcm， ∴AD=2AE=4tcm， ∴4t+4t=60， ∴t=

时，∠EDF=90°．

当∠DEF=90°时，DE⊥EF， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°， ∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°， ∴AD=AE，

AD=AC﹣CD=60﹣4t（cm），AE=DF=CD=2tcm， ∴60﹣4t=t， 解得t=12． 综上所述，当t=

时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三

角形（∠DEF=90°）．

【点评】此题属于四边形的综合题．考查了动点问题、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．