信号分析与处理 杨西侠 课后答案(2、3、5) (3)

=

ET?T20[sin n?t - sin n?(t-TT) ]dt 2T

EET22?cos n?t| ? cos [n?(t?)]|0 = 02n?2n?2 =

EE?(cos n? -1) ? cos (1-cos n?) 2n?2n?2En? ，n为奇数，n = 1，3，5 ……

=

?E(cos n? -1) ? n? 0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 ……

2E∴ x(t) =

11 [ sin ?t ? sin 3?t ? sin 5?t ? ??? ] ?35指数形式的傅里叶级数

0 , n = 0, ±2, ±4 ……

Xn=

12(an-jbn) =

??jEn? , n = ±1, ±3, ±5 ……

∴ x(t) = a0 +

jn?t?jn?t(Xe?Xe) ?nnn?02-9 求图2-9所示周期信号的傅里叶级数

E x (t) t -T/2 0 T/4 T/2 3T/4 T

解：此函数是一个偶函数 x(t) = x(-t) ∴ 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量

T ao =

144E ? t dt= ET0T8 +

3T1Tt14 ?T E dt+ ?3T4E(1-) dt

T4TT4 11

= =

EE2E292T) + + E–2(T?8216T6E3E3E– = 444 an =

2T ? x(t) cos n?t dtT0

=

1T ? x(t) (ejn?t ? e-jn?t) dtT0 =

=

1T?4En?(1?cos), n = 1, 2, … 22(n?) ∴ x(t) =

3E4–

11[ cos ?t ? cos2?t ? cos 3?t ? ...] 249?4E2-10 若已知F[x(t)] = X(Ω)利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换

(1) x(2t–5) (2) x(1–t) (3) x(t) · cos t

解：(1) 由时移特性和尺度变换特性可得

1?-j2? X () eF [x( 2t - 5)] = 22(2) 由时移特性和尺度变换特性

5 F [x(at)] =

1? X () |a|a F [x(t-t0)] =

X (?) e-j?t0 X (-?) e-j?

F [x(1–t)] =

(3) 由欧拉公式和频移特性

cos t =

1 ( ejt? e-jt) 2

F [

x (t) e?j?0t] = X(Ω?Ω0)

12Ω0 = 1

F [x(t) · cos t] = [ X(Ω–1) + X(Ω+1)]

12

2-11已知升余弦脉冲x(t) =

E?t( 1 ? cos ) (???t??)求其傅里叶变换 22)–u( t–τ)]

解：x(t) = 求微分

E?t( 1 ? cos )[ u( t +τ22

E??t?x(t) = ? sin [ u(t ? ?) - u(t-?)]

2??

E?2?t??x(t) = ?2 cos [ u(t ? ?) - u(t-?)]

2??E?3?tE?2x???(t)=3 sin [ u(t ? ?) - u(t-?)] +2 [ ?(t ? ?) - ?(t-?)]

2??2?

?2E?2 x?(t) + [ ?(t ? ?) - ?(t-?)] = 22?2?由微分特性可得：

2Ej????j??3[-(j?) X(?) ? (e?e)]2( jΩ) X(Ω) =

2?

∴ X(Ω) =

?2E2sin2?? 2 ?2?(2??)?2-12已知一信号如图2-81所示，求其傅里叶变换

x(t) t -τ/2 0 τ/2

解：(1) 由卷积定理求

x(t) =

G?(t) * G?(t)

22 13

G?(t) =

22E[u(t?)?u(t?)] ?442E???Sa()

?24E?2??Sa() 24??

G?(?) =

2 由时域卷积定理

X(Ω) =

G?(?) G?(?) =

22(2) 由微分特性求

2E ，–?< t < 0 ?2

x?(t) = –2E ，0 < t < ???2

2

0 ，| t | >

x??(t) = 2E [δ( t +??由微分特性

?) +δ( t–22??j?2)–2δ(t)]

( jΩ) X(Ω) =

2

2E?(e?j?2?e???2)?(2cos?2)

?22E X(Ω) =

E?2??Sa() 242-13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱

解：

G?(t) = E [ u( t +

?2)–u( t–

?2)]

G?(?) =

??E? Sa()

2?2)–G?( t–

x(t) = G?( t +

?2)

由时移特性和线性性

14

X(Ω) =

??j??E? Sa()e22E? Sa(??e)2???j??2E? Sa()e–

2?j?2 =

?e2j?j?2·2j = 2jE? Sa(??)sin ??22

2Eτ -2? ?-? ?0 ? ? 2?Ω ?

2-14已知三角脉冲x1(t)的傅里叶变换为

X1(Ω) =

E?2??Sa() 24) cosΩ0t的傅里叶变换

?试利用有关性质和定理求x2(t) = x1(t–

2

由时移性质

-j??2F [x1 (t–)] = X1 (?) e

2解：由时移性质和频域卷积定理可解得此题

?

由频移特性和频域卷积定理可知：

F [x(t )cosΩ0t]=

12[X(Ω–Ω0)+ X(Ω+Ω0)]

?X2 (Ω) = F [x1 (t–

2

=

)cosΩ0t]

???0?2???0?2

12[ X1 (Ω–Ω0)

e?j + X(Ω+Ω0)

e?j]

15

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