线面积分习题答案 (3)

12. 已知力场F?yz i?zxj?xyk,问质点从原点沿直线移动到曲面

x2a2?y2b2?z2c2?1在第一卦限部分上的哪一

点作的功最大?并求出最大功.

解 设所求点(x0,y0,z0)在椭球面上,原点到该点的直线的参数方程?:x?x0t,y?y0t,z?z0t，t从0到1. W???yzdx?zxdy?xydz ??(yzt?x?zxt?y 1 000200020?x0y0t2?z0)dt

?3x0y0z0? 1 0t2dt?x0y0z0

x2a2?y2b2?z2c2?1下的极值问题.

求最大功的问题,实际上就是求W?xyz在条件

22?x2?yz?,分别对x,y,z,?求偏导,并令偏导数等于0,得 ???1设F(x,y,z,? )?xyz?? ??a2b2c2???yxFx?yz?2?2?0, ①, Fy?xz?2?2?0, ②

baFz?xy?2?zc2?0, ③,

x2a2?y2b2?z2c2?1, ④

?x2y2?①?x?②?y,得 2? ?2?2??0.

?ab???当??0时,解得(x,y,z)为:(0,0,?c)或(0,?b,0)或??a,0,0?;当??0时,解得 ?y2z2?②?y?③?z,得 2? ?2?2??0

?ba???x2a2?y2b2

解得

y2b2?z2c2x22 ?y22于是有 将⑤代入④,得 x?a3a,y?bb?z2c2 ⑤ .

3,z?c3x2y2z23由问题的实际意义知Wmax?即质点从原点沿直线?移动到曲面2?2?2?1在第一卦限部分上abc，

9abc?abc?3?,,的点?作的功最大,且最大功为W?abc. max??9333??

13. 求

?L(x?1)2ydx?xdy,其中L为椭圆曲线?y2?1上在上半平面内从A(?2,0)?B(4,0)的弧。 229x?y222解：添加辅助线 l为x?y??的顺时针方向的上半圆周以及有向线段AC,DB，其中?是足够小的正数，

(x?1)2?y2?1内。由于 使曲线x?y??包含在椭圆曲线

9222??x?yx2?y2 ， (2)?(2)?22222?xx?y?yx?y(x?y)由格林公式，有设y??sin?,??L??AC????lDB?0.

x??cos?,有

?l??2sin2???2cos2?ydx?xdy??d???,222?x?y?

0再由

AC?ydx?xdyydx?xdy ?0,?0.于是 2222?x?yx?yDB?Lydx?xdy?x2?y2?lydx?xdy??.

x2?y2分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在(0,0)点附近P?y?x,Q? 无定义，于是采用在椭圆内部(0,0)附2222x?yx?y近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。

14. 求八分之一的球面x?y?z?R,x?0,y?0,z?0的边界曲线的重心，设曲线的密度??1.

解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为L1,L2,L3,则L的质量为

z L32222m???ds??ds?3?LL2?R3??R. 42L1 1 设边界曲线L的重心为(x,y,z)，则

x

0 y L222R?x112?xds?x1?()dx x??xds?{?xds??xds??xds}??022mL1mmLmL1R?xL2L32RR?2R??xdx?R2?x2m0mR2?x2由对称性可知x?y?z?R02R22R24R???.

3m?R3?24R. 3?分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线L分成三个部分：

L1:y?0,0?x?R,z?R2?x2,L2:z?0,0?x?R,y?R2?x2,

L3:x?0,0?y?R,z?R2?y2.另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可x?y?z简化计算。

15.计算曲面积分

2222x?y?2x内的部分。 其中为锥面在柱体zdS,z?x?y????解：?在xOy平面上的投影区域为D:x?y?2x，曲面?的方程为

22z?x2?y2,(x,y)?D.

因此

??zdS????D2?2x2?y21?(z?2??x2?y2dxdy. x)?(zy)dxdy?D对区域D作极坐标变换??x?rcos?,则该变换将区域D变成(r,?)坐标系中的区域

y?sin?,?D(r,?):??2????22,0?r?2cos?,因此

?22cos???Dx?ydxdy??2?d???20832rdr??2?cos3?d??.

3?292?分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面?投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将?的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即dS?1?(?y?y?z2?z?x?x)?()2dxdy,或dS?1?()2?()2dzdx,或dS?1?()2?()2dxdz.上解中的

?x?z?x?y?y?z投影区域在xOy平面上，因此用代换dS?1?(算。

?z2?z)?()2dxdy,由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计?x?y16. 设半径为R的球面?的球心在定球面x?y?z?a(a?0)上，问R为何值时，球面?在定球面内部的那部分的面积最大？

解：不妨设?的球心为(0,0,a)，那么?的方程为x?y?(z?a)?R,它 与定球面

2222??x?y?z?a,的交线为?即

2222??x?y?(z?a)?R,22222222?2R2(4a2?R2)2x?y?,?2?4a ?2?z?a?R.?2a?R2(4a2?R2),设含在定球面内部的?上那部分球面?1在xOy面上的投影区域为D，那么D:x?y?4a222且这部分球面的方程为

z?a?R2?x2?y2,(x,y)?D.

则?1的面积为

2?2S???dS???1?(z?x)?(zy)dxdy?R???1DDdxdyR?x?y2222

?R?2?0d??R4a2?R22a0rdrR?r22?2?R(?R?r)2R4a2?R22a0

?2?R2?2a?R. 2a2以下只需求函数S(R)?2?R?2a?R在[0,2a]上的最大值。 2a3R24a4a)?0,得唯一驻点R?,且S??()??4??0.由问题的实际意义知S(R)在由令S?(R)?2?(2R?2a33R?4a4a322a?. 处取得最大值。即R?时，?1的面积最大，为

3327分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的

?上那部分球面?1在xOy面上的投影区域D。在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可

解得结果。 17. 计算曲面积分

??(xy?yz?zx)dS,其中?为锥面z??x2?y2被圆柱面x2?y2?2ax所截得的有限部分.

22解 (方法一) 如图10-11,?在坐标面xoy上的投影区域Dxy为: x?y?2ax.因为dS? 所以

2d?

z?Dxy??(xy?yz?zx)dS

?Dxy???2222??xy?yx?y?xx?y??2dxdy ??y?2??xx?ydxdy

Dxy22o图10-11

x

?2??d? ?2 ?2 ? 2acos? 0?r2cos? rdr ?82a?4?2 0 ??42?64cos5? d??82a4????2a4

?53?15 (方法二) 由于?关于xOz面对称,且被积函数xy及yz是关于y的奇函数,故

??xydS?0,??yzdS?0

??于是

??(xy?yz?zx)dS???zxdS?2??x??Dxyx2?y2dxdy

?642a4 15注意 在计算对面积的曲面积分中,经常用对称性来化简运算.但应用这一性质时,不仅要考虑积分曲面的对

称性,同时要考虑被积函数的对称性.

18. 求均匀曲面?:z?a2?x2?y2的重心坐标.

解 已知?是中心在原点,半径为a的上半球面.由于?关于坐标面yoz,zox均对称,故有 x?0,y?0. 设?的面密度为?,?的质量为M?2?? a2.

1z?? z dS

M???曲面?在坐标面xOy上的投影Dxy:x2?y2?a2,则

z?1M12?? a212?? a2???? zdS?12?? a22Dxy???22a2?x2?y2?1?zx?z2y dxdy

?Dxy??? a?x?y?1?2x2?y2a2?x2?y2a2dxdy

?Dxy???a?x?y?222a2?x2?y2dxdy

?12? a2Dxy??adxdy?1a 21??所以曲面?的重心坐标为:?0,0,a?.

2??x2y219. 设?为椭球面??z2?1的上半部分,点P(x,y,z)??,?为?在点P处的切平面,?(x,y,z)为点

22zdS.(1999数学考研题) O(0,0,0)到平面?的距离,试求

? (x,y,z)???解 设(X,Y,Z)为?上任意一点,?在点P处的切平面?的方程为：

x(X?x)?y(Y?y)?2z(Z?z)?0，即

yx?0??0?z?0?122?x??y?2??????z?2??2?22yYxX??zZ?1 22?(x,y,z)??1yx??z244222

x2y2?,则 ?在坐标面xOy上的投影区域记为Dxy:x?y?2,由z?1?22?y?xzx?, zy?,

2222yyxx21??21??222221?2zx?z2y?4?x2?y2?xy??4?1???22???22

所以

???zdS

? (x,y,z)

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