线面积分习题答案 (5)

Dxy??dxdy?hx?y22(x?y)dz?0,

???1222(xcos??ycos??zcos?)dS???Dxy222(h?x?y)dxdy ??1??h4 2??(x?12cos??y2cos??z2cos?)dS???z2dS??1Dxy??hdxdy ??h.

2414222 ???h (xcos??ycos??zcos?)dS??2?38．计算曲面积分??(x?y)dxdy?(y?z)xdydz其中Σ为柱面x2?y2?1及平面z?0,z?3所围成的空间闭区域

??的整个边界曲面的外侧.

解答：P?(y?z)x,Q?0,R?x?y,

?P?y?z,?x?Q?0,?y?R?0, ?z原式????(y?z)dxdydz ????(rsin??z)rdrd?dz ????29? 2??z?y?1,1?y?3,39.计算曲面积分I???x(8y?1)dydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy,其中?是由曲?绕y轴

???x?0旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于

?. 2?x2?z2?2,解：设?1:?表示y?3上与y轴正向同侧的曲面，由?和?1所围立体记为?.由高斯公式得

?y?3???1??x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy????dxdydz,

?因此I?2dxdydz?x(8y?1)dydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy. ???????122由于?在xOz面上的投影区域为D:x?z?2.注意到?1在xOz面，yOz面上的投影不构成区域，且在

?1上y?3,从而?:x2?z2?1?y?3,(x,y)?D,

I???(2?x2?z2)dxdz?16??dxdz?18??dxdz???(x2?z2)dxdz

DDDD36??2??34?.

?x2?z2?2,分析：?是旋转曲面y?x?z?1,1?y?3且指向外侧，在?上补上曲面?1:?指向与y?y?322轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分和?1上的曲面积分进行计算。

40.设空间区域?由曲面z?a?x?y与平面z?0围成，其中a为正常数。记?表面的外侧为S,?的体积为V,证明

222??xS2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy?V.

2222证明：设P(x,y,z)?xyz, Q(x,y,z)??xyz, R(x,y,z)?z(1?xyz),则

?Q?P?R??2xyz2,?2xyz2,?1?2xyz. ?y?x?z由高斯公式知

2222xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy ??S????(2xyz2?2xyz2?1?2xyz)dv????dv?2???xyzdv

????V?2???xyzdv.

????xyzdv???[??x?y?a222a2?x2?y20xyzdz]dxdy?2x?y2?a2??xy(a2?x2?y2)dxdy

2??2?0d??2?0a0r3sin?cos?(a2?r2)2dr,

2由于

?sin?cos?d??0,则???xyzdv?0,因此

???xS2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy?V.

分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明。

41．计算曲线积分??zdx?xdy?ydz,其中?是平面x?y?z?1被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.

解答：按斯托克斯公式, 有

?zdx?xdy?ydz ???dydz?dzdx?dxdy由于?的法向量的三个方向余?弦都为正

?再由对称性知 ??dydz?dzdx?dxdy ?3??d?

?Dxy?

?zdx?xdy?ydz ?3 2y2(0?z?1)的上侧。 42. (2007)计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中?为曲面z?1?x?4?2【分析】 本题曲面?不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，

而在添加的平面域上直接投影即可。

y2?1,z?0，取下侧. 则 【详解】 补充曲面：?1:x?42I? =

???1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy

?1???(z?2z)dxdydz???3xydxdy

?D2y2?1. 其中?为?与?1所围成的空间区域，D为平面区域x?4 由于区域D关于x轴对称，因此

??3xydxdy?0. 又

D10???(z?2z)dxdydz?3???zdxdy=3???zdz??dxdy?3?z?2?(1?z)dz??.

Dz01y2?1?z. 其中Dz:x?42

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新高中教育线面积分习题答案 (5)全文阅读和word下载服务。