线面积分习题答案 (4)

?Dxy??x2?y2x2y21???1??2244?x2?y2?xy??4?1???22??? 2 022dxdy

11 2 ?22?(4?x?y)dxdy?d? 4D4 0????3(4?r2) rdr??

2xy20. 计算积分

???(x?z)dxdy,其中?为平面x?z?a含在柱面x2?y2?a2内部分的上侧.

解 如图10-12,?在坐标面xOy上 的投影区域为Dxy:x2?y2?a2.

za??(x?z)dxdy???adxdy?a??dxdy?? a??Dxy3.

Dxyy

21.计算曲面积分夹角为锐角。

SaOx图10-12

22z?x?y(0?z?1), 其法向量与z轴正向的其中为有向曲面(2x?z)dydz?zdxdy,S??解1：设Dyz,Dxy分别表示S在yoz平面，xoy平面上的投影区域，则，

??(2x?z)dydz?zdxdy

S?Dyz2222?(x?y)dxdy (2z?y?z)(?dydz)?(?2z?y?z)dydz??????DyzDxy??4??z?y2dydz???(x2?y2)dxdy.

DyzDxy其中

Dyz??z?ydydz??dy??1211y241z?ydz??(1?y2)3dy

3022令y?sint，

Dyz??4431??z?ydydz??2cos4tdt?????,

30342242?又

Dxy??(x?y)dxdy??222?0d??r2?rdr?01?2,

所以

??(2x?z)dydz?zdxdy??4?S?4??2???2.

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里

的“一投”是指将积分曲面?投向单一型中已指定的坐标面。“二代”是指将?的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面?的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当?的定侧向量指向坐标面的上（右，前）方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。

解2:利用dS?dydzdzdxdxdy??化组合型为单一型. cos?cos?cos???(2x?z)dydz?zdxdy???[(2x?z)SScos??z]dxdy. cos?cos???2x, cos?因S的法向量与z轴正向的夹角为锐角,取n?{?2x,?2y,1},故有于是

原式????[(2x?z)(?2x)?z]dxdy

S?因为

x2?y2?1??[?4x2?2x(x2?y2)?(x2?y2)]dxdy.

x2?y2?122?2x(x?y)dxdy?0,所以 ??上式?x2?y2?12?222[?4x?(x?y)]dxdy??

1?4?0d??(?4r2cos2??r2)rdr??.

02?分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式dS?dydzdzdxdxdy??，先化组合型为统一cos?cos?cos?的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。

解3：以S1表示法向量指向z轴负向的有向平面z?1(x?y?1)，D为S1在xoy平面上的投影区域，则

22??(2x?z)dydz?zdxdy???(?dxdy)???.

S1D设?表示由S和S1所围成的空间区域，则由高斯公式得

S?S1??(2x?z)dydz?zdxdy?????(2?1)dv

???3?d??rdr?2dz??6??(r?r3)dr

00r02?111r2r413??6?[?]0???.

242因此

3?(2x?z)dydz?zdxdy????(??)??. ??22S分析：利用高斯公式

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(???P?Q?R??)dxdydz，可将曲面积分化为三重积?x?y?z分求得。但必需满足P,Q,R在闭区域?上有一阶连续的偏导数，?是边界曲面的外侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了S1，使S?S1为封闭曲面，并使S?S1的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。

22. 计算曲面积分

??(y?z)dxdy?(x?2)dydz,其中?是抛物柱面y??x被平面x?z?1和

z?0所截下的那部分的后侧曲面.

解 如图10-13,因为柱面y?x

z1n?Dyz

在坐标面xoy上的投影是一条曲线,由 定义知

??(y?z)dxdy?0

?0?在坐标面yOz上的投影区域

记为Dyz:0?y?1,0?z?1?y2. 由于?取后侧,故

1x图10-13 1y???(x?2)dydz????(y2?2)dydz??Dyz??(y2?2)dydz

???? 0 1dy 1?y2 0(y2?2)dz?? 1? 1 0(y2?2)?(1?y2)dy

1?6?????2y?y3?y5??

5? 05?注意 将对坐标的曲面积分投影到坐标面上时,不要忽视了?侧.

22. 计算曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中?为有向曲面z?x?2?y2(0?z?1),其法向量与z轴正向的夹角

为锐角．

分析 用高斯公式，添加辅助面化为沿封闭曲面的积分.

解 设?1:z?1 (x2?y2?1)取下侧,?与?1所包围的空间区域?:x2?y2?z?1,?1在xoy面上的投影为Dxy:x2?y2?1.

???1??(2x?z)dydz?zdxdy

2? 1 1z?1??3dv??3? d? ? rdr? dz ???? 0 0 r2z3???

2?O??(2x?z)dydz?zdxdy

?1yx图10-16

???zdxdy????dxdy???

?1Dxy所以

??(2x?z)dydz?zdxdy

?????1??(2x?z)dydz?zdxdy????13?(2x?z)dydz?zdxdy ????(??)??

2223. 计算曲面积分外侧.

xyzdydz?dzdx?dxdy,其中r?x2?y2?z2,闭曲面?包含原点且分片光滑,取其333??rr?r解 设?是由?所围成的空间区域,在?内以原点为中心,作球面?1:x2?y2?z2?a2,取其外侧.?与?1yxz所围成的闭区域记为?1,P,Q,R在?1内具有一阶连续的偏导数,由P?3,Q?3,R?3

rrrxr3?x?3r2?Pr2?3x2?Qr2?3y2?Rr2?3z2r???,?， ?x?y?zr6r5r5r5根据高斯公式,得

??P?Q?R?yxz?dydz?dzdx?dxdy???x??y??z??dxdydz 333rrr????????????11????13r2?3r2r5yr3dxdydz?0

于是

??r?x3dydz?dzdx?zrdxdy?0?3??1??rx3dydz?yr3dzdx?zr3dxdy

????1xyzdydz?dzdx?dxdy?4? 333aaa???常见错解 设?是由?所围成的空间区域,根据高斯公式 xyzdydz?dzdx?dxdy 333rrr???????P?Q?R????x??y??z??dxdydz???????3r2?3r2r5dxdydz?0

错误原因 因为P,Q,R及一阶偏导数在(0,0,0)??处无定义,不满足高斯公式的条件,所以直接应用高斯公

式计算这个积分是错误的. 注意 积分

????^?cos??n,r????dS,其中 n为曲面?上在点(x,y,z)处的外法线向量,r为点(x,y,z)的向径,是本题的另2r一种表达形式,这个积分也称为高斯积分.

axdydz?(z?a)2dxdy24. 计算,其中?为下半球面z??a2?x2?y2的上侧,a为大于零的常数.（1998年数

x2?y2?z2?学考研题）

分析 本题可以根据公式分块计算,也可以添加辅助平面z?0与?构成封闭曲面，然后利用高斯公式计算.但应注意,被积函数在（0,0）点没有定义,所以应先根据曲面积分的性质处理,再添加辅助平面z?0.

??

解 将x2?y2?z2?a代入被积函数,

I????axdydz?(z?a)2dxdyx?y?z222?1a??axdydz?(z?a)?2dxdy

.

设?1:z?0 x2?y2?a2,取其上侧,由高斯公式，得

11I?axdydz?(z?a)2dxdy?axdydz?(z?a)2dxdy

a???a????????11??1a????(3a?2z)dxdydz?1a??Da2dxdy

其中?为???1所包围的区域,D为z?0上的平面区域x2?y2?a2，于是

?1?44I???2zdxdydz?2? a?? a?

a????? 01? 2? a4? ??? d? rdr2zdz?? a? 0?a2?r2a? 0???????1???2?a??2??22?? ??a?r?rdr?? a4???a3

0??2? a2225. 已知流体的速度场v (x,y,z)??2x?z? i ?xyj ?xzj试求单位时间内流过立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面的外侧的流量(流体的密度为1).

z解 流量为??(2x?z)dydz?x2ydzdx?xz2dxdy ????(2?x???? a a 0 02?2xz)dxdydz

a? dx?dx 0 a??dy???? a 0 a 0 0(2?x2?2xz)dz

?2(2a?ax2?a2x)dy

n?1x1图10-17

?a(2a?ax2?a2x)dx

O1y?2a4a4??a2?3????a??2a?3?2??a?2?6?.

????

?x2?y2?126.计算曲线积分(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz其中L是曲线?从z轴的正向看去L的方向是顺

L?x?y?z?2时针的.(1997年数学考研题)

解 设?是平面x?y?z?2上以L为边界的有限部分,其法向量与z轴正向的夹角为钝角,?在xOy平面

?上的投影区域为Dxy:x2?y2?1.P?z?y,Q?x?z,R?x?y.则由斯托克斯公式

?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

L?????dydz??xPdzdx??yQDxydxdy???zR???dydz??xz?ydzdx??yx?zdxdy? ?zx?y???2dxdy??2??dxdy??2?

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