线面积分习题答案

线 面 积 分 习 题

一、填空

1.设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分

? L(x2?y2)ds?（ ? ）.

2. 设C为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)，则

22?C(x2?y2)ds=2?a3

33．L为圆周x?y?2x沿逆时针方向, 计算?xdy?ydx= 。

L??3解：设D:x?y?2x，由格林公式得

2cos??332232d?xdy?ydx?3rdr ?(3x?3y)dxdy??????0??D2L22???12?

2??231?9cos?d??24?2cos4?d??24?????。

042224?4．L为上半圆周y?2ax?x2沿逆时针方向, 计算

?(eLxsiny?2y)dx?(excosy?2)dy= 。

解：记L1为y?0上从x?2a到x?0的有向线段，D:0?y?由格林公式得

2ax?x2，

?L?L1(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy???2dy??a2，

D?所以 ?(e又

L1(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy?0，

xLsiny?2y)dx?(excosy?2)dy??a2。

5. 已知在力F?P i ?Qj?R k的作用下,一质点沿有向曲弧段L的正向从一端移动到另一端所作的功为

W?（ W??Pdx?Qdy?Rdz ）.

L6. 向量场A?(2z?3y) i?(3x?z)j?(y?2x) k的散度和旋度分别为divA?（ divA=0 ）;rotA?（ rotA?2 i?4j ?6k ）.

x2y27. 设C为依逆时针方向沿椭圆2?2?1一周路径，则?(x?y)dx?(x?y)dy= ?2?ab

Cab8. 设?为球心在原点，半径为R的球面的外侧，在

9. 设?是由锥面z???xdydz?ydzdx?zdxdy= 4?R?3

x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整个边界的外侧，则

2)?R3

??xdydz?ydzdx?zdxdy=(2??22k10. 设有力场F?(x?y)(yi?xj)(y?0)，已知质点在此力场内运动时，场力F所作的功与路径的选择无

关，则k= ?1

11. （2006）设?是锥面Z=x?y(0?Z?1)的下侧，则

22??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy??2?

?x2?y2?1解：补一个曲面?1:?上侧 P?x,?z?1?P?Q?R???1?2?3?6 ?x?y?z∴ 而

Q?2y,R?3(z?1)

??????????6dxdydz?6V（V为上述圆锥体体积）?6??1?1?3?2?

???dydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0（∵在??122上：z?1,dz?0）

12. （2004）设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，则曲线积分

3xdy?2ydx? . 的值为 ?L2解： 正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，可表示为

22 ??x?2cos?,?y?2sin?,?20?:0??2.

于是

?xdy?2ydx??L[2cos??2cos??22sin??2sin?]d?

? =??

?2202sin2?d??3?. 213. （2011）设L是柱面方程x?y?1与平面z?x?y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，

2y2dz? . 则曲线积分?xzdx?xdy?L2【答案】 ?

解: 斯托克斯公式法，取绷在L上的曲面为S:x?y?z?0,x?y?1，向上

22则原式=

??Sdydzdzdxdxdy??????ydydz?xdzdx?dxdy

?x?y?zSxz'x'y22因z?x?y,zx?1,zy?1.由转换投影法：

??ydydz?xdzdx?dxdy???S[y?(?1)?x(?1)?1]dxdy?D:x2?y2?1D:x2?y2?1??(?x?y?1)dxdy??.

用参数法来解

?x2?y2?1，参数方程L':x?cost,y?sint,z?0 L在xoy平面上的投影曲线L':??z?0t从0到2?，则L的参数式为L：x?cost,y?sint,z?cost?sint，t从0到2?.于是原式

=

?2?0(sint)2[cost(cost?sint)(?sint)?costcost?(cost?sint)]dt??.

214. （2007）设曲面?:x?y?z?1，则解： 由于曲面?关于平面x=0对称，因此

??(x?|y|)dS= ?43. 3??xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具有轮换对称性，于是

????(x?|y|)dS=??|y|dS=??|x|dS=??|z|dS=

???1(|x|?|y|?|z|)dS 3???=

1341??8?3. =dS3233???15.（2010）已知曲线L的方程为y?1?x,x?[?1,1],起点是(?1,0),终点是(1,0),则曲线积分 0

【解析与点评】令

?Lxydx?x2dy?

?x?t?x?tL1:??1?t?0 L2:?0?t?1

y?1?ty?1?t???Lxydx?x2dy??xydx?x2dy??xydx?x2dy??t?1?t??t2dt??t?1?t??t2dtL1L2?1001

?23t2???t??2??3

二、选择题

1. 设曲线L:y?x2,x?1,则在

(A)(C)0?1?t223?1????t?0?0

?23??Lf(x,y)ds中,被积函数f(x,y)取( C )时,该积分可以理解成L的质量.

x?y?2; x?3.

x?y; (B)x?y?2; (D)2. 已知有向光滑曲线L:x??(t),y??(t)???t???的始点B对应的参数值为?,终点A对应的参数值为?,则

?Lf(x,y)dx?( C )

(A)???f?? (t),?(t)?dt; (B)??f??(t),?(t)?dt;

?(C)????f??(t),?(t)???(t)dt; (D)??f??(t),?(t)???(t)dt.

3. 当表达式Pdx?Qdy中函数P,Q取( A )时,此式在其定义域内必为某一函数的全微分.

(A)P??yxx2?y2,Q?x2?y2;(B)P?yx2?y2,Q?xx2?y2; (C)P?xx2?y2,Q??yx2?y2;(D)P?xx2?y2,Q?yx2?y2

4．已知曲线弧L:y?1?x2(0?x?1)，计算?Lxyds=( )。

(A) 1 (B) 0 (C)

12 (D) ?12 2解： ds?1???dy???x?2?dx??dx?1?????1?x2?dx?1?1?x2dx，

?Lxyds??110xdx?2。

注：计算曲线积分时，对圆弧宜用参数方程。

5．设L是曲线x?t?1,y?t2?1上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算I??L2ydx?(2?x)dy=( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解： I??1[2(t2?1)?(1?t)?2t]dt=?100(2?2t)dt?3。

6. 设?:x2?y2?z2?a2,(z?0),?1为?在第一卦限的部分,则有( C )

(A)??xdS?4??xdS; (B)??ydS?4??xdS;

??1??1(C)??zdS?4??xdS; (D)??xyzdS?4??xyzdS.

??1??17. 曲面积分

??z2dxdy在数值上等于( D ).

?(A) 面密度为z2的曲面?之质量; (B) 向量z2 i穿过曲面?的流量;

(C) 向量z2j 穿过曲面?的流量; (D) 向量z2k 穿过曲面?的流量.

8. 对于格林公式

?QLPdx?Qdy???(??x??P?y)dxdy，下述说法正确的是（ C ） D (A) L取逆时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶偏导数且

?Q??x?P?y (B) L取顺时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶偏导数且

?Q?P?x??y (C) L为D的正向边界，函数P，Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数 (D) L取顺时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数

9. 取定闭曲面?的外侧，如果?所围成的立体的体积是V，那么曲面积分=V的是（ D ） (A) (B) (C)

??xdydz?ydzdx?zdxdy

???(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy

???(x?y?z)(dydz?dzdx?dxdy)

? (D)

???1(x?y?z)(dydz?dzdx?dxdy) 310. C为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线，则

?Cxdy?ydx=（ B ）

x2?4y2 (A) 4? (B) 0 (C) 2? (D) ? 11. 设?为x?y?z?a在z?h(0?h?a)部分，则 (A) (C)

2222??zdS=（ B ）

???2?02?d??d??a2?h20a2?h2a?rrdr (B) ?d??0222?a2?h20ardr

0?a2?hardr (D) ?d??202?a2?h20a2?r2rdr

12. 设A?P(x,y)i?Q(x,y)j,(x,y)?D，其中P，Q在区域D内具有连续的一阶偏导数，又L是D中任一曲线，则下列关于曲线积分的论断，其中不正确的是（ C ） (A) 如果A?dl与路径无关，则在区域D内，必有

L??Q?P? ?x?y (B) 如果A?dl与路径无关，则在区域D内，必存在单值函数u(x,y)，使得

L?du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy

(C) 如果在区域D内，

?Q?P?，则必有?A?dl与路径无关 ?x?yL (D) 如果对D中的每一条闭曲线C，恒有A?dl?0，则A?dl与路径无关

LL??13. L为圆周x?acost,y?asint(a?0,0?t?2?), 求 (A) 2?a2n?1? L(x2?y2)ds( A ).

2n?1n (B) 0 (C) 2? (D) 4?a

解 (方法一)化为定积分

ds?x?2(t)?y?2(t)dt?(?asint)2?(acost)2dt?adt

? L(x?y)ds?22n??(acost) 2? 02?(asint)2? n?adt

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