线面积分习题答案 (6)

27. 计算I?? L(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz.其中L是平面x?y?z?2与柱面x?y?1的交线,从

z轴的正向看去L为逆时针方向.

分析 若将曲线化为参数方程,根据曲线积分的计算公式应分段进行计算,比较繁琐.利用斯托克斯公式化曲线积分为曲面积分或降低曲线积分的维数进行计算比较简洁.

解 设?为平面x?y?z?2上L所围成部分的上侧,D??(x,y)x?y?1?为?在xOy面上的投影.由斯托

克斯公式,得 I????cos???xy2?z2cos???y2z2?x2cos??dS ?z3x2?y2??333??其中?cos?,cos?,cos????,,?为?的单位法向量.

??333??I??233???(4x?2y?3z)dS??233???4x?2y?3(2?x?y)?dS

???233??(x?y?6)dS

???233??(x?y?6)D1?(?1)2?(?1)2dxdy

??2??(x?y?6)dxdy

D因为D关于两个坐标轴对称,x和y分别为x及y的奇函数,所以I??12??xdxdy?0,??ydxdy?0.于是,有

DD??dxdy??24

D注意 利用斯托克斯公式进行计算时,曲线L的正向与曲面?的侧要符合右手法则.

????x2y2z228. 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2?2?2?1上第一卦限的点

abc?(?,?,?)，问?,?,?取何值时，力F所作的功W最大？并求出W的最大值。 解：原点到点M(?,?,?)的直线段OM为：x??t,y??t,z??t，t从0到1，

功W为 W??OMyzdx?zxdy?xydz??3???t2dt????，

01下面求W????在条件 下的最大值。

?2a2??2b2??2c2?1(??0,??0,??0) （1）

作拉格朗日辅助函数 L(?,?,?)??????(?2a2??2b2??2c2?1)，

2???L?????0??a2?2???L?????2?0建立方程组 ? b?2??L?????0??2c??L??0[即(1)式]解此方程组，得??

29. 计算I?注：由

a3,??b3,??c3，由问题的实际意义知，Wmax?3abc。 922z?1?x?y?，其中为曲面在第一卦限的部分取上侧。 xdydz?ydzdx?2zdxdy?????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS，

??可得公式

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(?P???z?z?Q?R)dxdy。 ?x?y解：?在xOy面上的投影区域为D:0?y?1?x2,0?x?1， 由公式

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(?P???z?z?Q?R)dxdy ?x?y得 I?

22??(2x?2y?2z)dxdy?2??dxdy??D?2。

30. 计算曲面积分I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy, 其中?是曲面 ???z?1?x2?y2(z?0)的上侧。

解：取?1为xOy平面上圆x?y?1的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域

22I????1??2xdydz?2ydzdx?3(z332?1)dxdy???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy

?1由高斯公式知 I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy ???1 ????6(x?12?y?z)dxdydz?6?d??dr?0022?11?r20(z?r)rdz

?12?而

12232[r(1?r)?r(1?r)]dr?2?， ?02332??2xdydz?2ydzdx?3(z?1?1)dxdy??x2?y2?1??(?3)dxdy?3?

因此 I?2??3????。

31. 已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为D的正向边界. 试证： (1) xeL?sinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx; L(2) xeL?sinydy?ye?sinxdx?2?2. 【详解】 方法一：

(1) 左边= 右边=所以 xeL??0?0?esinydy???e?00?sinxdx =??(esinx?e?sinx)dx，

0???e?sinydy???esinxdx =??(esinx?e?sinx)dx，

?0??sinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx. L(2) 由于e xeLsinx?e?sinx?2，故由（1）得

?sinx?sinydy?yedx???(esinx?e?sinx)dx?2?2. 0?方法二： （1） 根据格林公式，得xeL?sinydy?ye?sinxdx???(esiny?e?sinx)dxdy， D?sinysinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy. ???LD因为D 具有轮换对称性，所以 故 xeLsiny?sinx?sinysinx=(e?e)dxdy(e?e)dxdy， ????DD?sinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx. L (2) 由(1)知 siny?sinxsiny?sinxsiny?sinx =xedy?yedx?(e?e)dxdyedxdy?e???????dxdy LDDD=

sinx?sinxsinx?sinx2 （利用轮换对称性）=edxdy?edxdy(e?e)dxdy?2dxdy?2?. ????????DDDD32. 计算曲面积分I?22332z?1?x?y(z?0)的上侧. ?其中是曲面2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy,???【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投

影法求解即可.

【详解】 取?1为xoy平面上被圆x?y?1所围部分的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域，则

22I????13323322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy. ?????1由高斯公式知

???1??2xdydz?2ydzdx?3(z?2?0332?1)dxdy????6(x2?y2?z)dxdydz

? =6而

d??dr?011?r2011(z?r2)rdz=12??[r(1?r2)2?r3(1?r2)]dr?2?.

022??2xdydz?2ydzdx?3(z?133?1)dxdy??x2?y2?1???3dxdy?3?，

故 I?2??3????.

33.（2006）设在上半平面D??(x,y)|y?0?内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意t?0都有

f(tx,ty)?t?2f(x,y)

证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有证：把f(tx,ty)?t?2?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0

f(x,y)两边对t求导得：xfx?(tx,ty)?yfy?(tx,ty)??2tf(x,y)

令 t?1，则xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y)再令 P?yf(x,y),Q??xf(x,y) 所给曲线积分等于0的充分必要条件为

?Q?P? ?x?y今

?P?Q?f(x,y)?yfy?(x,y) ??f(x,y)?xfx?(x,y)?y?x要求

?Q?P?成立，只要xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y) ?x?y?Q?P?，于是结论成立。 ?x?y我们已经证明，?

34.（2010）设P为椭球面S:x?y?z?yz?1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分I?222???(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS，其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分

【解析与点评】（1）切平面法向量Fx?2x,Fy?2y?z,Fz?2z?y，因与xOy面垂直， 所以2x?0?(2y?z)?0?(2z?y)?1?0?z?y 2?x2?y2?z2?yz?1 所以轨迹为??y?2z

4x2?5y2?5z2?8yz （2）dS?1?z?zdxdy?dxdy

2z?y2x2y 原式=

Dxy2??x?3dxdy,Dxy?{(x,y)x?32y?1} 42?2?3 ?Dxy??xdxdy???3dxdy?0?3???1?Dxy

35．计算

??|xyz|dS,其中 ? 为抛物面 z?x?2?y2（0?z?1）

解：依对称性知：抛物面z?x?y关于z轴对称，被积函数|xyz|关于

22xoz、yoz坐标面对称，有???4??成立，(?1为第一卦限部分)

??122?dS?1?z?x?zydxdy?1?(2x)?(2y)dxdy

22原式???|xyz|dS ?4?2222?4xy(x?y)1?(2x)?(2y)dxdy xyzdS?????1D?xy其中D?xy?{(x,y)|x?y?1, x?0,y?0}利用极坐标 x?rcost, y?rsint,

22?2?sin2tdt?r51?4r2d ?2?1001255?1

42036． 计算??(x?y?z222)dS, 其中 ?为内接于球面x2?y2?z2?a2的八面体|x|?|y|?|z|?a表面.

?解：被积函数f(x,y,z)?x2?y2?z2,

关于坐标面、原点均对称 ,积分曲面?也具有对称性 , 积分曲面?也具有对称性 , 故原积分???8??,(其中?1表示第一卦限部分曲面)?1：x?y?z?a, 即

??1z?a?x?ydS??1?zx?zydxdy22?3dxdy

4222222222?23a. ?8[x?y?(a?x?y)]3dxd?8(x?y?z)dS(x?y?z)dS???????1Dxy37．计算曲面积分??(xcos??ycos??zcos?)ds,其中Σ为锥面 x2?y2?z2介于平面 z?0及

222?z?h(h?0)之间的部分的下侧, cos?,cos?,cos?是Σ在(x,y,z)处的法向量的方向余弦.

解答：空间曲面在xoy面上的投影域为Dxy曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式

补充?1:z?h(x2?y2?h2) ?1取上侧，???1构成封闭曲面，???1围成空间区域?.，

在?上使用高斯公式 ?2??dxdy?Dxyhx?y22???1??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS?2???(x?y?z)dv

?(x?y?z)dz, 其中Dxy?{(x,y)|x2?y2?h2

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