线面积分习题答案 (2)

?? 2? 0a2n?1dt?2?a2n?1

(方法二)

? L2(x?y)ds? a2nds?2?a2n?1

L222n?14.L是圆x?y?2x(y?0)上从原点O(0,0)到A(2,0)的一段弧, 计算曲线积分ydx?xdy( )。

L? (A) 4? (B) 0 (C) 2? (D) ?

解：由于P?y,Q?x,?Q?P??1,于是此积分与路径无关，故 ?x?y(2,0)(0,0)?ydx?xdy?LOA?ydx?xdy??ydx?xdy??0dx?0.02

?x2?y2?1,15. C是曲线?从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的, 计算曲线积分

?x?y?z?2,C?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz( A )。

(A) ?2? (B) 0 (C) 2? (D) ?

解1：设?表示平面x?y?z?2上以曲线L为边界的曲面，其中?的正侧与L的正向一致，即?是下侧曲面，

?在xoy面上的投影区域Dxy：x2?y2?1.由斯托克斯公式

dydzdzdxdxdy??xz?y??yx?z? ?zx?yC?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz?????2??dxdy??2??dxdy??2?.

?Dxy解2：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设x?cos?,y?sin?,则

z?2?x?y?2?cos??sin?,?从2??0.

C?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

??[(2?cos?)(?sin?)?(2cos??2?sin?)cos??(cos??sin?)(sin??cos?)]d?

2?0??[2(sin??cos?)?2cos2??cos2?]d???[2sin??1?cos2?]d???2?.

002?2?

三、计算题

1．计算曲线积分I??L22?xdy?ydx，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周（R?1），取逆时针方向。 22?4x?y解：取L1:4x?y?1，沿逆时针方向。记D为L与L1所为环域，

y?Py2?4x2 P??，， ?4x2?y2?y(4x2?y2)2x?Qy2?4x2 Q?，， ?222224x?y?x(4x?y)由格林公式得

?Q?P?xdy?ydx?(?)dxdy?0， ?22???x?y?L?L14x?yD?xdy?ydx??xdy?ydx??。 I??224x?y?L1L1

2. 计算e L?x2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?a2,直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

分析 由于曲线L分段光滑,要利用可加性计算. 解 e L?x2?y2ds?e L1?x2?y2ds?e?x2?y2 L2ds?e?x2?y2 L3ds

L1的方程为 y?x,?0?x???2?22?a? ??ds?1?y?(x)dx?2dx

yL1?e L1x2?y2ds??2 a2 0L22e2xdx

OL3ax??2 a2e2xd( 02x)?ea?1

图10-2 L2的方程为：x?acost,y?asint,??0?t?????

4?ds?x?2(t)?y?2(t)dt?(?asint)2?(acost)2dt?adt

?所以

L2ex2?y2ds??4 0 ?aeadt?? a4ea

L3的方程为 y?0,(0?x?a)，ds?1?y?2(x)dx?dx.e?x2?y2 L3ds?? a 0exdx?ea?1

?

Lex2?y2ds?e L1?x2?y2ds?e?x2?y2 L2ds?e?x2?y2 L3ds ?ea?1?? a?? a?ea?ea?1???2?ea?2 4?4?3. 计算

? L(4x3?x2y)ds,其中L为折线段x?y?1所围成区域的整个边界.

2解 : 由于曲线L关于y轴对称,而4x3是关于x的奇函数,故4x3ds?0,又xy是关于x,y都是偶函数,故

? L

? Lxyds?4?xyds?4?x(1?x)2dx?L10221212 3所以

? L(4x3?x2y)ds?12 3y1L2?1注意 一般地,若曲线L关于y轴对称,则有 ?2f(x,y)ds,f(?x,y)?f(x,y)? f(x,y)ds?? L1 L??0, f(?x,y)??f(x,y)其中L1是L在x?0的部分.

??L1OL3若曲线L关于x轴对称,则有

?2f(x,y)ds,f(x,?y)?f(x,y)? f(x,y)ds?? L1 L??0, f(x,?y)??f(x,y)其中L1是L在y?0的部分.

1xL4???1图10-3 4. 计算

? Lx2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?ax?a?0?.

解 (方法一)如图10-4（a）,L的参数方程为x?aa(1?cost),y?sint,?0?t?2?? 22yads?x?(t)?y?(t)dt?dt

222? Lx?yds?22? 2? 0 2?a2tcosd t 22cost?dt??2a2 2?tOa2??2??? ? 0tcosdt?2a2图10-4(a)

x?? ????(方法二) L的极坐标方程为r?acos?,??????

2??2ds?x?2????y?2???d??r2?r?2d??ad?

?22? Lx2?y2ds???a ?2 cos? d??2a2?2 0 ?cos? d??2a2

注意 ① 在方法一中,参数t表示圆心角,而在方法二中,参数?表示极坐标系下的极角,参数的意义不同,一般取值范围也不相同.

②若曲线在极坐标系下的方程为r?r(? ),则ds?r2?r?2d?,可直接引用此式. ③ 该例也可以先利用对称性化简,再化为定积分计算. 5. 计算

? L(x2?2y)dx?(2x?y2)dy,其中L是曲线y?1?1?x对应于x?0的点到x?2的点．

y解 如图10-6，用Green公式

I????(2?2)dxdy??x2dx

D028所以 ?(x?y)dx?(x?y)dy?

L32222L1L2

6. 计算

O1图10-5 2x??xyzdz,其中?是用平面y?z截球面x 2?y2?z2?1所得的截痕,从x轴的正向看去,沿逆时针方向．

解 将y?z代入球面方程x2?y2?z2?1消去z得，x2?2y2?1,令x?cost,y?12sint,并将其代入

y?z得,z?12sint.

12sint,z?12sint,始点参数为0,终点参数为2?.

?:x?cost,y??? xyzdz?1? 2? 0211costsin2t?costdt 221162?82? 2? 0sin2tdt?? 2? 0 (1?cos4t)dt?2? 167. 计算

? Lxy2dy?x2ydx其中L为圆周x2?y2?a2,沿逆时针方向.

??Q?P????x??y??dxdy??? a 0解 由格林公式

? Lxy2dy?x2ydx? 2? a??D 2? 0??D(x2?y2)dxdy

?d? 0?? 0r2?rdr?d???r3dr?1? a4 2注意 ① 利用格林公式计算对坐标的曲线积分时,P,Q不要颠倒了.

② 计算沿闭曲线对坐标的曲线积分时,常利用格林公式简化计算.

8. 已知平面区域D??(x,y) 0?x??,0?y???,L为D的正向边界.试证：

?(2)?(1)

L Lxesinydy?ye?sinxdx?? Lxe?sinydy?yesinxdx;

xesinydy?ye?sinxdx?2?2

证明.(1)根据格林公式,得

??故

Lxesinydy?ye?sinxdx?xe?sinydy?yesinxdx???DD(esiny?e?sinx)dxdy

?siny L??(e??(eD?esinx)dxdy

因为D关于y?x对称,所以

siny?e?sinx)dxdy???(eD?siny?esinx)dxdy

? Lxesinydy?ye?sinxdx?? Lxe?sinydy?yesinxdx.

(2)由（1）知

? Lxesinydy?ye?sinxdx???D(esiny?e?sinx)dxdy

???D(esiny?e?sinx)dxdy???D2dxdy?2?2

9. 计算

? L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy,其中L为上半圆周(x?a)2?y2?a2,y?0,沿顺时针方向.

解 如图10-7,由格林公式

又

? OA??Q?P?mxx2(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy ?????dxdy??mdxdy??? a? L?AO??x?y?????2?D?D(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy?0

m? a2

L2 注意 ① 利用格林公式计算沿非封闭曲线的积分时，常用坐标轴上或平行于坐标轴的直线段作为辅助线.

② 辅助线方向的选取应满足它与原积分曲线组成的闭曲线的正向或负向一致． 所以

?(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy??10. 计算

?ydx?xdy2(x?y)22 L,其中L:(x?1)?y?2,沿逆时针方向.

y22解 如图10-7适当选取r?0,作圆周L1:x?rcost,y?rsint，使 L1包含在L的内部,并取L1的方向为顺时针. L,L1包围区域D，由格林公式

?所以

ydx?xdy2(x2?y2) L?L1???D??Q?P????x??y??dxdy ?????D?x2?y2x2?y2??(x2?y2)2?(x2?y2)2?

??dxdy?0 ??LL1Or1x?ydx?xdy2(x2?y2) L???D??Q?P????x??y??dxdy????ydx?xdy2(x2?y2) L1??12?ydx?xdy(x?y)22 L1??12??(?sin 2 0图10-7 2t?cos2t)dt???

注意 在本例中，若把L换为不过原点的任意分段光滑且无重点的闭曲线，应该分为原点在L所包围的区域内和原点不在这个区域内两种情况进行讨论.对前一种情况，曲线积分利用此例的方法就可以求出.

11. 设函数f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑曲线,其始点为(a,b),

1x终点为(c,d).记I?1?y2f(xy)dx?2y2f(xy)?1dy,

Lyy?????(1)证明曲线积分I与路径L无关.

(2)当ab?cd时,求I的值.(2002年数学考研题)

x?P1?Q1证明(1) 设P?1?y2f(xy),Q?2y2f(xy)?1. ?f(xy)?2?xyf?(xy)?y?y?xyy????在上半平面内处处成立,所以在上半平面内曲线积分I与路径无关.

(2)(方法一) 如图10-10,由于积分I与路径无关,所以

???y?1?yf(xy)?dx?y?y1c????1?bf(bx)?dx??ybyI?2 ?c,b?1x2 a,b2f(xy)?1dy ???1x1?y2f(xy)dx?2y2f(xy)?1dy ?c,b ?yy ?c,d ????? c2 d2 a b2f(cy)?1dy ??c?a?bf(t)dt y? c abf(bx)dx?? d bcf(cy)dy?cc? db?ca??db? bc abf(t)dt?? cd cbf(t)dt ?ca??db? cd ab当ab?cd时,所以I?? cd abf(t)dt?0,

C(c,d)ca?. db(方法二)

dxxdyI??2? LyyA(a,b)B(c,b)??O Lyf(xy)dx?xf(xy)dy

x图10-9 z?ca??db? Lf(xy)?ydx?xdy??ca??db4? Lf(xy)d(xy) ?因为f(t)连续, 所以F(t)?? t 0f(t)dt存在,

0dF(t)?f(t)dt?f(xy)(xdx?ydy)

3? Lc,d)f(xy)d(xy)??F(xy)? (?a,b??F(cd)?F(ab)

y2当ab?cd时,

? Lf(xy)d(xy)?0,由此得I?ca?. dbx图10-10

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