2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷（含答案解析版） (5)

（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；

（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC=S△ABC，求∠APB的度数； （3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）先确定出点A，B，C的坐标，进而求出AC，BC，AB，即可判断出△ABC的形状，判断出外接圆的圆心的位置即可；

（2）先确定出直线BC的解析式，进而设出点P的坐标，得出点Q的坐标，再分两种情况，用S△PBC=S△ABC，建立方程求解，最后判断出△ABN∽△APM即可求出∠APB的度数；

（3）设出点E的坐标，用点E到对称轴的距离建立方程求出点E的坐标，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣ x+2与y轴交于点C，

∴C（0，2），

令y=0，则0=﹣ x+2，

∴x=﹣1或x=4， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0），B（4，0），

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∴OA=1，OB=4，OC=2，

根据勾股定理得，AC= ，BC=2 ， ∵AB=OA+OB=5，

∴AC2+BC2=5+20=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形，

∴AB是Rt△ABC的外接圆的直径，

∴△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，

∴其坐标为（

，0）；

（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y=kx+2， ∵B（4，0）， ∴4k+2=0，

∴k=﹣

，

∴直线BC的解析式为y=﹣

x+2，

∵P是抛物线上一点，

设点P（m，﹣ 2

m+

m+2）

如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，

∴Q（m，﹣

m+2），

①当点P在直线BC上方时，S△PBC=S△PQC+S△PBQ=S△ABC，

∴ [（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）]×m﹣ 2 [（﹣ m+ m+2）﹣（﹣（m﹣4）=

×5×2

∴m2﹣4m+5=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，

第37页（共40页）

m+2）]

∴此方程没有实数根；

∴当点P在直线BC上方时，S△PBC≠S△ABC，

②当点P在直线BC下方时，S△PBC=S△PQC﹣S△PBQ=S△ABC，

2 2

∴[（﹣m+2）﹣（﹣m+m+2）]×m﹣[（m+2）﹣（﹣m+m+2）]（m

﹣4）=×5×2

∴m2﹣4m﹣5=0， ∴m=﹣1（舍）或m=5， ∴P（5，﹣3）

作PM⊥x轴于，交BC于Q，

∴PM=3，MB=1，根据勾股定理得，BP= ，AP=3 ， 过点B作BN⊥AP于N，

∴∠ANB=∠AMP=90°，∠BAN=∠PAM， ∴△ABN∽△APM，

∴ ， ∴ ，

∴BN= ，

在Rt△BPN中，PN= = ， ∴BN=PN， ∴∠APB=45°；

（3）存在，

如图2，∵抛物线y=﹣ x+2的对称轴为x=，

由（2）知，P（5，﹣3），BP= ，

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设E（n，﹣ n2

+

n+2），

①当点E在抛物线对称轴右侧时， 即：点E处时，EF=BP= ，

∴点E到对称轴的距离为EG=BM=1，

∴n﹣

=1，

∴n=

，

∴E（ ，

），

易知，FG=PM=3，

∴F（ ，

）；

②当点E在抛物线对称轴左侧时， 即：E'处时，E'F'=BP= ，

∴点E'到对称轴的距离为E'G'=BM=1，

∴

﹣n=1， ∴n=

，

∴E'（ ，

），

易知，F'G'=PM=3，

∴F'（ ，﹣

）．

即：满足条件的点F的坐标为（ ， ）或（ ，﹣第39页（共40页）

）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的外接圆，直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是用分类讨论的思想思考问题，是一道中考压轴题．

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