毕业论文（设计）-矩阵初等变换及其应用 (4)

（2）任取??T，则?，?1，?2，T的一个最大无关组。

?r线性相关。则称部分组?1，?2，?r为向量组

?r线性无关的充分必要条件是它构成的矩阵

定理1：设r?n，则n维向量组?1，?2，A=??1，?2，?r?的秩等于向量的个数r。

证向量组的线性相关性的步骤是： 一、求向量组所构成的矩阵的秩；

二、比较向量组所构成的矩阵的秩与向量组向量的个数。若向量组所构成的矩阵的秩等

于向量组向量的个数，那么，向量组线性相关。若向量组所构成的矩阵的秩小于向量组向量的个数，那么，向量组线性无关。

TTT例1 已知b1?，b2?，b3?，试讨论向量组b1,b2,b3 （，1?31，）（-1，2，?2）（，1-1，3）和向量组b1，b2的线性相关性。 解：

?1?11???（b1,b2,b3）=??32?1? r3?r2

?1?23????1?11???r2?r30?12?? r?5r

2?0?12?3???1?11???0?12?? ?000???r（b1,b2,b3）=2,向量组b1,b2,b3线性相关；r（b1,b2）=2，向量组b1,b2线性无关。 例2 k取何值时，向量组?1?(1,3,6,2)T，?2?(2,1,2,?1)T，?3?(1,?1,k,?2)T线性无

关。

解：构造矩阵（?1,?2,?3），由于

?121???r2?3r131?1?r3?6r1 ??1,?2,?3?=??62k???r4?2r1?2?1?2?定义：向量组??1,?2, （1）?i1,?i2,1??12??r?2r0?5?42??3?0?10k?6?r4?r2??0?5?4??1??12??0?5?4?? ?00k?2???000?? 当k?-2时，矩阵的秩等于3，等于向量的个数，?1,?2,?3线性无关。

12r?n?的一个部分向量组??i,?i,?i?叫做一个极大线性无关

部组（简称极大无关组），如果

?i线性无关；

r （2）每一?j，j=1，?n，都可以由?i1,?i2,?i线性表示。

r 利用矩阵的初等变换将向量组堪称某个矩阵A的列（行）向量组，然后用初等行（列）变换将A化为阶梯形矩阵B，则向量组的秩等于阶梯形矩阵B的非零行（列）的行（列）数，在B中找出一个阶数最高的非零子式Dr，那么与Dr中这r列（行）相对应的r个向量

?i,?i,?i就是原向量组的一个极大无关组。

例3 求向量组?1?(1,?1,0,0)T，?2?(?1,2,1,?1)T，?3?(0,1,1,?1)T，?4?(?1,3,2,1)T，?5?(?2,6,4,?1)T的极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关

12r组表示。

?1?10?1?2????12136?。对A作初等变换，将其化为 解：设A=(?1,?2,?3,?4,?5)=??01124???0?1?11?1??行阶梯矩阵，即

?1?10?1?2????12136?r?rA=??01124?21??0?1?11?1???1?1??01?00??00?1?10?1?2???r3?r2?01124?r4?r2 ?01124???r3?r4?0?1?11?1?0?1?2??1?r2?2r3?124?0r1?r3??0011?r?r?12?000??00100110000101??2? 1??0?0?1?2??1?1??124?1?01r3?3?00033???000??00 故r（A）=3。该行阶梯矩阵每个非零行第一个非零元所在的列为第1，2，4列，所以， 向量组的一个极大线性无关组为?1,?2,?4，且?3??1??2，?5??1?2?2??4。 向量组的极大无关组不是唯一的，但向量组的任意两个极大无关组之间等价。一个向量 组的所有极大无关组所含的向量的个数都是相同的。一个由非零向量组成的向量组必有最大 无关组，若向量组线性无关，则此向量组本身就是一个最大无关组；若向量组线性相关，则 此向量组中必存在最大无关组。

6、求向量空间两个基的过渡矩阵

过渡矩阵是线性空间理论中非常重要的概念之一。求向量空间的一组基到另一组基的过 渡矩阵，最直接的方法便是按过渡矩阵的定义先列出一组等式，进而需求解n个非齐次线性方程组，然后写出过渡矩阵，其间运算量很大，为了简化计算，下面将介绍用行初等变换的方法求的一组基到另一组的过渡矩阵。

定义1：设??1,?2,量?j，j=1，

?n?和{?1,?2,于是我们知向 ?n}是n维向量空间V的两个基。

，n，可以由?1,?2,?n线性表示。我们设

?an1?n, ?an2?n,

?1?a11?1?a21?2??2?a12?1?a22?2??n?a1n?1?a2n?2?这里(a1j,a2j,

?ann?n.

以这n个坐标为列，作一个n 阶,anj)就是?j关于基??1,?2,?n?的坐标。

?a11?a21矩阵T=????an1矩阵。

a12a22an2a1n??a2n?，矩阵T叫做由基??1,?2,?n?到基{?1,?2,??ann??n}的过渡

求过渡矩阵的方法为：

1、先写出这个向量空间的标准基到这两个基??1,?2,阵A和B。 2、我们有??1,?2,3、于是(?1,?2,{?1,?2,?n?和{?1,?2,?n}的过渡矩

,?n?=??1,?2,,?n?A,( ?1,?2,?n) =??1,?2,,?n?B。 ?n)=??1,?2,,?n?A-1B。因此，由基??1,?2,?n?到基

?n}的过渡矩阵是A-1B。

求A-1B的方法：将分块矩阵?AB?进行行初等变换，当前一块变成单位矩阵时，

后一块即为A-1B。

T例1 已知?1?(1,1,1,,?2?(1,1,?1,?1)T,?3?(1,?1,1,?1)T,?4?(1,?1,?1,1)T与1)?1?(1,1,0,1)T,?2?(2,1,3,1)T,?3?(1,1,0,0)T,?4?(0,1,?1,?1)T为线性空间R4的两组基。求由?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵。

解：设A为由基?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，则（?1,?2,?3,?4）= （?1,?2,?3,?4）A。B、C为标准基到这两个基的过渡矩阵，则A=B-1C。

?B?1111?11?1?1C?=??1?11?1??1?1?111101213110??11??

0?1??0?1?1210??0?101? ??11?1?1?1?200?1101011001111012142121?21?4101200??1??2?1? ?2?1???4??1111??00?2?2?0?20?2??0?2?201210??1111??0?101?00?2?2???0?20?2?11?1?1???0?1?1?1??00?22???1?0???0?0????1111?00?2?2???0?20?2??00041210??0?101??11?1?1??1?10?1?

???1??0???0?0???11010010000011?4141412120032341?41?4101201???2???11???4???0??3??0?04??1????4??01000010000134141?414741?4341?41212001???4?3?4?. ?1??4?1???4??3?4??1?4得到A=???1?4?1??4741?4341?41???4?3?4?=1?1?4?4?1???4??37??1?1??13??1?12?1??23?。

0?1??0?1?若矩阵T是基??1,?2,到基??1,?2,

?n?到基{?1,?2,?n}的过渡矩阵，那么由基{?1,?2,?n}

?n?得过渡矩阵就是A?1。

7、化二次型为标准形

定义1：含有n个变量x1,x2,

,xn的二次齐次函数

,xn)=??aijxixj（aij?aji）

i?1j?1nnf(x1,x2,称为二次型。

定义2：若二次型f=xAx经可逆变换x=Cy变成只含平方项，即

22 f=k1y1?k2y2?2 ?knynT这种只含平方项的二次型，称为f的标准型。

利用初等变换将二次型化为标准型的过程如下：

?A??????对A作初等行、列变换???????? （其中?为对角阵）

对E只作列变换?E??P?????对A进行两次变换（一次列变换和一次对应的行变换或一次行变换和一次对应的列变

换），对E仅进行一次相应的列变换，两次变换一定要对应，且对E的列变换与对A的列变换要相同。此法的优点是：经初等变换后可同时求出对角阵?及所用的非退化线性变换矩阵P，从而直接写出所用的非退化的线性变换。

例1 用初等变换法将二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?6x2x3化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。

?011??? 解：二次型的矩阵为A=?10?3?，又有

?1?30????0??1?A??1?????=??E??1????0?0?10?30101???3?0??r1?r2?c?c0?12?0?1???2??1??2???1??1?0?10?3010??20??2??0?1??3??2?0?r2?(?1)?r1??2?2?2??1?10?c2?(?)?c1?1?2??20??11??1?2??00???2???2??0????0???0??1????2??0??0r3?r1??c3?c1??1???1??0?0?12?212120??0???2???2??r?(?4)?r2?3?c3?(?4)?c21???1??1?????200???1?0?0???2?006?????,故可逆线性变换 ??1?1?3???2??1?1?1?2???001???1?1??2?x1??1?? ?x2???1?2?x???3?00???f?2y12??3???y1????1??y2?化二次型f(1x,2x,3?x)?y3?????1???21x?2x为xx2?x3x6112y2?6y32。 222例2 用初等变换法将二次型f?2x1?x2?4x1x2?4x2x3化为标准型。 解：

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新教学研究毕业论文（设计）-矩阵初等变换及其应用 (4)全文阅读和word下载服务。