毕业论文（设计）-矩阵初等变换及其应用 (3)

所以r（A）=3，即矩阵A为满秩，故矩阵A可逆。

2） 初等变换法：

?12?1???r2?3r1A=?34?2??5?41?r3?5r1???12?1?1??0?21r(???22)?0?146????1??12??1?01??

?2??0?146????100???010??， ?001????100??r1?2r2?1?01??r3(?1)r3?14r2?2??00?1???所以矩阵A可逆。

?100???1?01??r2?1r32?2??001???一种求逆的方法：将分块矩阵?AE?进行行初等变换，当前面一块变成单位矩阵时，后 面一块就是A。

?1?1?5?2???1?，求A?1。 例2 设A=??13?3?4?1????1?5?2???1? 解：因为A=??13?3?4?1???有

?1?5?2100???r2?r1?131010???3?4?1001?r3?3r1???1?5?2100???0?2?1110??r2?r3?010251????1?5?2100???0?2?1110??r3?5r2 ?0115?301????1?5?2100???010251??r3?2r2 ?0?2?1110???00??1?5?2100??1?5?21????r1?2r3010251010251r?(?1)??3??r?5r

2?00?15112??001?5?11?2?1????31??1001??010251?? ?001?5?11?2???

31??1??1?51?。 所以A=?2??5?11?2????A???另一种求逆方法：将分块矩阵??进行列初等变换，当上面一块变成单位矩阵时，下面

?E???一块就是A。

?1?2?41????1例3 已知矩阵A= ?1?52?可逆，用列初等变换法求A。

?1?11???解：

????A???????=??E??????????????????????????2?41????1?52???1?11???????100???010???001?????????????1??2????0???????1???2?????1??2????0???121?6131?2??1?。 ?2?1???1?42????2?51???1?11???????001???010???100???100????23?3???13?1???????001???010???14?2???100??230?132????

001??011?142??1002101111212100101343????????00??1?010???01??0?????11??1??222???11???1??662???21??1?3??3????00?10??01??，错误！未找到引用源。 ?11??22??11??62??11?3??1?2?1从而得到：A-1=???6?2????3

在用初等变换法求逆的过程中，或从始至终只作行的初等变换，或从始至终只作列初等变换。绝不能同时作行与列的初等变换。

3、判断线性方程组解的状况

齐次线性方程组有个明显的零解x=0，称其为平凡解。于是，对于齐次线性方程组，只需研究其在何种情况下有非零解（非平凡解）。

定理1：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分且必要条件为它的系数矩阵的秩r（A）

定理2：n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广解阵的秩。

判断线性方程组解的状况就是先求出线性方程组的系数矩阵的秩r（A）与增广矩阵的秩r（B），然后比较r（A）与r（B）。当r（A）小于r（B）时，方程组无解；当r（A）等于r（B）等于未知量的个数时，方程组有唯一解；当r（A）等于r（B）并小于未知量的个数时，方程组有无穷多解。 例1 已知齐次线性方程组

?x1?2x2?2x3?0??3x1?7x2?6x3?0 ?4x?8x??x?023?1有非平凡解，求?的值。

解：齐次线性方程组有非平凡解，必有系数矩阵A的秩r（A）<3.而

?12?2???r2?3r137?6A=?? r?4r1?48??3???12?2???010?? ?00??8???为了使r（A）<3，必须?+8=0，即?=-8时齐次线性方程组有非平凡解。

?2x1?x2?x3?1?例2 判断线性方程组?4x1?2x2?5x3?4是否有解？

?2x?x?4x?03?12解：对相应的增广矩阵进行初等行变换

?2?131???r2?2r1B=?4?254??2?140?r3?r1???2?131???00?12??r3?r2?001?1????2?131???00?12?? ?0001???则r（A）=2，r（B）=3，r（A）?r(B),所以，原线性方程组无解。

??x1?x2?x3??2?例3 讨论?取何值时方程组?x1??x2?x3??有唯一解、无穷多解、无解。

?x?x??x?13?12解：对增广矩阵实施初等行变换

??11?2????101???2?1???r1?r3??0??11???B=?1?1?? ???11?1?r2?r3?11?1?????当?=1时，r（A）=r（B）=1<3，方程组有无穷多解；当??1时，继续变换

1??11r2???1r1??10?1??1???r3?r101?11?? r?r32?11?1?????1??10?1??01?11?? ?00??2???1???所以，当??1并且??-2时，r（A）=r(B)=3,方程组有唯一解。当?=-2时，r（A）=2

在判定含有参量的线性方程组有没有解及有多少解的问题时，需要注意的是：由于所含的参数是不确定的数值，所以在对增广矩阵施行行初等变换的时候，应当考虑作变换时所用的“数”（如果它是含参量的一个代数式）是否可能为零（对某参量的取值），是否有意义，即（无论参量的取值如何）分母是否为零等，以决定所作的变换是否可施行。

4、解线性方程组的一般解及基础解系

线性代数的起源之一，是解线性方程组的问题。解一个线性方程组最基本的方法是所谓“加减消元法”。这种方法有三个基本操作：方程组中两个方程互换，一个方程两边乘一非零常数，一个方程加另一个方程的若干倍。

用初等行变换解线性方程组的步骤是： （1） 将增广矩阵B=（Ab）化为行阶梯矩阵，若R（B）?R（A），则方程组无解；

若R（B）= R（A），则进行下一步。

（2） 将增广矩阵进一步化为行最简形矩阵； （3） 写出同解方程组（用自由未知量表示其余未知量）； （4） 写出方程组的通解（参数形式或向量形式）。

?x1?2x2?3x3?4x4?4?x?x?x??3?234例1 求线性方程组?的解。

x?3x?3x?1124????7x2?3x3?x4??3解：设B是线性方程组的增广矩阵，于是

B=

?1?23?44???01?11?3???130?31???0731?3??r3?r1?1?23?44???01?11?3???05?31?3???0?731?3??r3?5r2r4?7r2

?1?23?44??1?23?44???r4?2r3??01?11?301?11?3???

1??002?412?r3??001?26?2????00?48?24???00000?

?x1?2x2?3x3?4x4?4?x2?x3?x4??3 于是，得到同解的方程组为??x3?2x4?6??x1?2x2?3x3?4?4x4?x2?x3??3?x4将这方程组改写为? ?x3?6?2x4??x1??8?通过回代，将x4作为自由未知量，得到原方程组的一般解： ?x2?3?x4。

?x?6?2x4?3?2x1?3x2?x3?0例2 求四元齐次线性方程组?的一般解和一个基础解系。

x?2x?x?x?0234?1解：A=??23?10??11?21??11?21?r?rr?r?12??21??r1?r2

?121?1??121?1??013?2??1??00?53??，

13??2得到一般解：??x1?5x3?3x4

?x2??3x3?2x4TT由此可得到方程组的一个基础解系为

?1??5,?3,1,0?,?2???3,2,0,1?。

利用矩阵初等变换解线性方程组就是将方程组的增广矩阵进行初等变换，从而得到与原 方程组同解的梯形线性方程组。再通过回代得到原方程组的一般解。

在解线性方程组的时候只允许使用交换系数矩阵中的两列，而不得使用其余的两种初等 列变换，此时相当于交换两个未知量的次序。但是，在实际解方程组时，我们不必要这么做， 更不要把最后一列与前面某一列交换。此外，由于其余两种初等列变换不是“同解变换”， 因此在解方程组时，不允许使用。

5、证向量的线性相关性、求向量组的极大无关组

求向量组的极大线性无关组,最方便,最常用的方法可能要数初等变换法了，这也是我们 最容易掌握的。

定义1：设?1， ?2，?r是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数a1，a2， ar使得 a1?1?a2?2??ar?r?0，那么就说?1，?2，?r线性相关。 定义2：设向量组T。如果它的一个部分组?1，?2，?r满足： （1）?1，?2，?r线性无关；

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