毕业论文（设计）-矩阵初等变换及其应用 (2)

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学 士 学 位 论 文

题 目 矩阵初等变换及其应用 学 生 指导教师 副教授 年 级

专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院

年4月25日

矩阵初等变换及其应用

摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。

关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵

在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。

定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i，j两行（列），记作rij(cij)）；

（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k乘以第i行（列），记作ri(k)(ci(k))；

（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i行（列）k倍加到第j行（列），记作rij(k)(cij(k))。

初等行、列变换统称为初等变换。

定义2：对单位矩阵I仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为Rij(Cij)，Ri(k)(Ci(k))，Rij(k)(Cij(k))，有

?1????Rij=Cij=???????1??Ri(k)=Ci(k)=?????0110?????? ???1?????? ??1??

k?1????Rij(k)=Cij(k)=??????1k1????i行? ??j行??1??初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。

定理1：对m?n矩阵A，作一次初等行（列）变换所得的矩阵B，等于以一个相应的m阶（n阶）初等矩阵左（右）乘A。

下面将介绍几种实用初等变换的方法。由于侧重实际应用方面，在表述方面着重讲清基本概念、原理和计算方法，避免繁琐、冗长的理论推导和证明，力求简明准确；将抽象的理论，从具体问题入手，通过典型例题对基本概念、所涉及的方法进行融会贯通。

1、求矩阵的秩

由于初等变换不改变矩阵的秩，如果我们要求一个矩阵的秩，可以先利用行初等变换将其化为行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数，行阶梯形矩阵的秩就是原矩阵的秩。这样我们就可以求出原矩阵的秩。

定义1：在m?n矩阵A中，任取k行k列（k?m，k?n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序二而得到的k阶行列式，称为A的k阶子式。

定义2：矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作r（A），并规定零矩阵的秩等于零。

定理1：初等变换不改变矩阵的秩。

推论1：若A是一个m?n的矩阵，经过初等变换可以得到一个行阶梯形矩阵B，显然B与A等价，有r（A）=r（B）。

?1?2?1??242例1 求矩阵A的秩，A=??2?10??333解：

2??6?6?。 ?23?34??1?2?1??000?032??0962??6?2?2?1??3?2?00A=

?1?2?1???242?2?10??3332??6?6?23??34?0r2?2r1r3?2r1r4?3r1r2?r4

?1?2?1??096?032??00002??3?2?1r3?r232?1??6?2??1?2?1??096??000??000?2??1?2?1??3?2??0961?r4?6r3?1???0003????0006?2??02??3?2? 1?。

1??3?00??0所以由推论得：A的秩为3。

?12?3?2例2 求矩阵A=??20??52解：

31271??1?的秩r（A）。 ?1?3??1231?1??0?8?8?2r?(?)r2??32?0?4?4?1???r4?(?1)r2?0?8?8?2??1231???0?8?8?2??=B ?0000???0000???12?3?2A=??20??5231271??r2?(?3)r11?r3?(?2)r11??r4?(?5)r13?所以r（B）=2，r（A）=r（B）=2。

矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征，矩阵的许多重要性质都可以通过它来反映，如矩阵非零子式的最高阶数，矩阵行（列）向量组的线性相关性等。

2、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵

可逆矩阵在线性代数中具有很重要的地位，但若是用伴随矩阵的方式来求一个矩阵的逆矩阵工作量非常大。然而根据可逆矩阵与初等矩阵之间的关系，矩阵求逆的问题可以通过初等变换很轻松的解决。

利用初等变换判定矩阵为可逆阵的方法有：

1） 满秩法：n阶矩阵A为可逆阵的充要条件是r（A）=n。

2） 初等变换法：n阶矩阵A为可逆阵的充要条件是可通过对A作有限次行（或列）

初等变换后化为单位阵。

定理1：矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

?12?1???例1 判定矩阵A=?34?2?是否可逆。

?5?41???解：

1）满秩法：

?12?1???r2?3r1A=?34?2??5?41?r3?5r1???12?1???0?21??r2?7r3?0?146???

?12?1???0?21??， ?00?1???

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