高二数学导数及其应用单元测试题(3)

导数习题

猜想：所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。

17. （本题满分12分）已知函数f(x)是(0, )上的可导函数，若xf (x) f(x)在x 0时恒成立.

（1）求证：函数g(x)

f(x)

在(0, )上是增函数； x

（2）求证：当x1 0,x2 0时，有f(x1 x2) f(x1) f(x2).

f(x)xf (x) f(x)

,因为xf (x) f(x)， 得g (x) 2

xx

f(x)

所以g (x) 0在x 0时恒成立，所以函数g(x) 在(0, )上是增函数.

x

f(x)

（2）由（1）知函数g(x) 在(0, )上是增函数，所以当x1 0,x2 0时，

x

17. （1）由g(x) 有

f(x1 x2)f(x1)f(x1 x2)f(x2)

成立， ,

x1 x2x1x1 x2x2

x1x2

f(x1 x2),f(x2) f(x1 x2)

x1 x2x1 x2

从而f(x1)

两式相加得f(x1 x2) f(x1) f(x2) 18. （本题满分12分）已知函数f(x) xlnx. （Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若对所有x 1都有f(x) ax 1，求实数a的取值范围.

18. 解析：f(x)的定义域为(0，+ )， 1分 f(x)的导数f (x) 1 lnx. 3分

11；令f (x) 0，解得0 x . ee

1 1

从而f(x)在 0 单调递减，在 ，+ 单调递增. 5分

e e 11

所以，当x 时，f(x)取得最小值 . 6分

ee

（Ⅱ）解法一：令g(x) f(x) (ax 1)，则

g (x) f (x) a 1 a lnx， 8分 ① 若a 1，当x 1时，g (x) 1 a lnx 1 a 0，

，+ )上为增函数， 故g(x)在(1

所以，x 1时，g(x) g(1) 1 a 0，即f(x) ax 1. 10分 ② 若a 1，方程g (x) 0的根为 x0 ea 1，

令f (x) 0，解得x

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