高中数学解题思维策略 一数学思维的变通性(4)

数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练

而此题函数f(x)的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。

（2） 联想能力的训练

例4 在 ABC中，若 C为钝角，则tgA tgB的值

(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定 思路分析 此题是在 ABC中确定三角函数tgA tgB的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tg(A B) tgA tgB可得下面解法。 1 tgA tgB

解 C为钝角， tgC 0.在 ABC中A B C C (A B) 且A、B均为锐角，

tgA tgB 0.1 tgA tgB

tgA 0,tgB 0, 1 tgA tgB 0.即tgA tgB 1. tgC tg (A B) tg(A B)

故应选择（B）

思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。

例5 若(z x)2 4(x y)(y z) 0,证明：2y x z.

思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。

证明 当x y 0时，等式 (z x)2 4(x y)(y z) 0

可看作是关于t的一元二次方程(x y)t2 (z x)t (y z) 0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： y z 1即 2y x z x y

若x y 0，由已知条件易得 z x 0, 即x y z,显然也有2y x z. 例6 已知a、b、c均为正实数,满足关系式a2 b2 c2,又n为不小于3的自然数，求证:an bn cn.

思路分析 由条件a2 b2 c2联想到勾股定理,a、b、c可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。

证明 设a、b、c所对的角分别为A、B、C.则C是直角，A为锐角，于是 sinA ab,cosA ,且0 sinA 1,0 cosA 1, cc

当n 3时，有sinnA sin2A,cosnA cos2A

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