学生成绩分析数学模型(3)

仅供参考

的数据信息进行分析肯定是不准确的。

根据教育学与统计学的理论，一次难度适中信度可靠的考试，学生的成绩应接近正态分布。也就是说，当学生的成绩接近于正态分布时，说明此次考试基本达到了教学要求。判断成绩是否接近正态分布最直观，最有效的方法就是将成绩分布曲线与均值和方差相同的正态分布曲线加以比较。

如果是负偏态分布，则说明试题总体难度偏高；如果是正偏态分布，则说明试题总体难度偏低；如果是陡峭型分布，则说明试卷中难度中等的度量占比重太大。

这样首先做出所给数据中四个学期成绩的方差分析和原始成绩的统计分析，其中实线表示正态分布的曲线，直观的说明所给成绩为偏正态分布。这样我们的目标就变为构造一种变换使学生每个学期的成绩符合相同的正态分布曲线，这样也就能将试卷难度等影响消去，才能对所给的每个学期的成绩相互之间进行比较。 方差分析：单因素方差分析

SUMMARY 组 学期1平均成绩 学期2平均成绩 学期3平均成绩

观测数 求和

44402.2

612 22525

45516.6

612 10084

44780.1

612 9827

平均 72.552651185 74.373545888 73.170258611

方差 90.251045421 112.30517151 81.238387361

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学期4平均成绩

方差分析

差异源

612 SS 2372.2741196 237495.34183

239867.61595

45938.579721 df

75.063038759 MS 790.75803988 97.174853449

104.90480951

F 8.137476022

P-value 2.166326607E-05

F crit 2.6085441047

组间 组内 总计

3 2444 2447

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其次对原始数据进行SK检验得： Sk Ku

这样通过以上的分析，我们可以发现，直方图在标准正态分布曲线的右边，且Sk<0，则都属于负偏态分布，说明试题的总体难度是偏低的。而且根据Ku值渐渐变大可以发现试题中中等难度的题目越来越多了。根据其平均值和方差可知：学生在第四学期的平均成绩最高，其次是第二学期，第一学期和第三学期的平均成绩略低一些；但是从方差来看，第一、三学期低于第二、四学期，这从上图中也可以明显看出，第一、三学期学生的成绩分布要比第二四学期学生的成绩分布要集中。

那么下面我们构造一种方法使得每个学期学生转化后的成绩符合相同的正态分布曲线。

定义：xi0（i=1,2…n）为n个学生的某一学期的原始成绩。

yi ln(100 xi)，这样就可以将一个偏正态分布转变成了yi满足的正态分

第一学期 第二学期 第三学期 第四学期

-1.236 -1.919 -1.944 -2.928 2.5 7.043 8,142 14.479

布，由于该函数单调递减函数，原始成绩高的反而变得成绩低了，为和传统保证一致，进行以下变换xi1

2y yi。这样就能得到一个满足标准正态分布的数据了。

下面通过坐标的偏移拉伸使得其满足相同分布的正态分布。

xi的方差为：

1

2

(xn 1

i 1

1

n

1i

x)，得到xi

122

xi x

11

，这样均值就偏移

到了x=0处，且标准差为1。作出X2的直方图如下：

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利用Q-Q图检验其正态性得：

说明其具有良好的正态性，那么数据的标准化和检验均告完成，这样就去除了试卷难度等客观因素导致成绩分布不合理产生的误差。下面就可以根据已得到的标准化数据对于学生成绩进行评估。

以上所述为整体分析，我们又用Excel处理了原始数据——B题附件，由于数据的庞大，为了简化模型，利用系统抽样随机选取其中的十名同学进行分析。 系统抽样步骤： 1）共有612名学生，从学生编号为1的同学开始，每隔60名抽取一位同学； 3）得到结果：选取第1、61、121、181、241、301、361、421、481、541、 601位同学。

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