全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y x 2x取得极小值.

(2)由曲线y lnx与两直线y e 1 x及y 0所围成的平面图形的面积是_____________.

x 1

(3)

与两直线y 1 t及x 11 y 21 z 1

1

都平行且过原点的平面方程为_____________.

z 2 t

(4)设L为取正向的圆周x2 y2 9,则曲线积分

(2xy 2y)dx (x

2

L

4x)dy= _____________.

(5)已知三维向量空间的基底为α1 (1,1,0),α2 (1,0,1),α3 (0,1,1),则向量β (2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim

1x2

x 0bx sinx 0

1成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u f(x,xy),v g(x xy),求

u x, v x

. (2)设矩阵A和B满足关系式AB=A 2B,其中A 301 110 ,求矩阵B. 014

四、(本题满分8分)

求微分方程y 6y (9 a2

)y 1的通解,其中常数a 0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把

所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设lim

f(x) f(a)

x a

(x a)

2

1,则在x a处 全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）历年真题

(A)f(x)的导数存在,且f (a) 0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值

(D)f(x)的导数不存在

s(2)设f(x)为已知连续函数,I t

t0

f(tx)dx,其中t 0,s 0,则I的值

(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s

(D)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数k 0,则级数 ( 1)n

k n

n 1

n2

(A)发散

(B)绝对收敛 (C)条件收敛

(D)散敛性与k的取值有关

(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A| a 0,而A*

是A的伴随矩阵，则|A*|等于

(A)a (B)

1a

(C)a

n 1

(D)an

六、（本题满分10分） 求幂级数

1xn 1

的收敛域，并求其和函数. n 1

n 2n

七、（本题满分10分） 求曲面积分

I x(8y 1)dydz 2(1 y2)dzdx 4yzdxdy,

其中 是由曲线f(x) z 1 y 3

绕

x 0y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角

恒大于

2

.

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且

f (x) 1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x) x.

九、（本题满分8分）

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