全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)(20)

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)历年真题(1987-2010)

1994年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)lim1x 0

cot (

sinx 1

x

)= _____________.

(2)曲面z ex 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

(3)设u e x

sinxy,则 2u1 x y在点(2, )处的值为_____________.

设区域D为x2

y2

R2

,则 (x2y2

(4)2 2)dxdyD

ab=_____________.

(5)已知α [1,2,3],β [1,1,1n

23

],设A α β,其中α 是α的转置,则A=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设M 2sinx

cos4xdx,N 234

(sinx cosx)dx,P 21 x2 2 2

(x2sin3x cos4x)dx,则有 2

(A)N P M (B)M P N (C)N M P

(D)P M N

(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx (x0,y0)、fy (x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件

(B)必要条件而非充分条件

(C)充分必要条件

(D)既非充分条件又非必要条件

(3)设常数 0,且级数

a

2

n

收敛,则级数 ( 1)

n

n 1

n 1

(A)发散

(B)条件收敛 (C)绝对收敛

(D)收敛性与 有关

(4)lim

atanx b(1 cosx)x 0

cln(1 2x) d(1 e x2

)

2,其中a2 c2 0,则必有

(A)b 4d

(B)b 4d (C)a 4c

(D)a 4c

(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组

全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）历年真题

(A)α1 α2,α2 α3,α3 α4,α4 α1线性无关 (B)α1 α2,α2 α3,α3 α4,α4 α1线性无关 (C)α1 α2,α2 α3,α3 α4,α4 α1线性无关

(D)α1 α2,α2 α3,α3 α4,α4 α1线性无关

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

x cos(t2)

(1)

设y tcos(t2

) t2,求dy

1

udu

dx、d2ydx2在t .

(2)将函数f(x)

14ln1 x1 x 12

arctanx x展开成x的幂级数. (3)求

dx

sin(2x) 2sinx.

四、(本题满分6分)

计算曲面积分 xdydz z2dxdyS

x2 y2 z2

,其中S是由曲面x2 y2 R2

及z R,z R(R 0)两平面所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设f(x)具有二阶连续函数,f(0) 0,f (0) 1,且[xy(x y) f(x)y]dx [f (x) x2

y]dy 0为一

全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.

六、(本题满分8分) 设f(x)在点x 0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)

x 0x 0,证明级数 f(1

)绝对收敛.

n 1

n 七、（本题满分6分）

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z 0,z 1所围成的立体体积.

八、（本题满分8分）

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