相似三角形的判定及有关性质(23)

则它的四个顶点共圆．

以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．

【训练3】如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H. 求证：(1)C，D，F，E四点共圆； (2)GH2＝GE·GF

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证明 (1)如图，连接BC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°. 又∵∠EAG＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠AEG. 又∵∠FDC＝∠ABC， ∴∠FDC＝∠AEG.

∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四点共圆． (2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线， ∴GH2＝GC·GD.

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF. GCGE∴△GCE∽△GFD.∴GFGD 即GC·GD＝GE·GF.∴GH2＝GE·GF.

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