数理金融学第4章ROSS套利定价模型(7)

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不同 β 值的充分分散证券组合，它们的 期望收益率与其 β 值之间存在什么关系呢？期望收益率（%）()10 7 6rfD ·CD的期望收益率等于:E (rD ) =0.5 1β这样证券组合D与C有相同的 β 值，但D的期望收益 率高于C，由前面的分析知， 无风险套利机会将存在。1 1 1 1 r f + E (rP ) = × 0.04 + × 0.10 = 0.07 2 2 2 2因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时， 所有充分分散证券组合必位于始于 r f 的同一条 直线上, 这条直线的方程为： （4-6） 其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为 风险因子的价格。 上式就是关于充分分散证券组合 它描述了在市场均衡状态下， 的套利定 价模型， 任意充分分散证券组合收益率与风险 (β ) 的关系。4.3.2 构建套利组合（Arbitrage portfolio）1. 零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要 的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资 （Self-financing）组合。 2. 无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风 险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的 敏感度为0。 3. 正收益：套利组合的期望收益大于零。用数学表示就是E (rp ) = r f + λβ p n ∑ wi = 0 （4.1） i =1 n ∑ bi wi = 0 （4.2） i =1 n ∑ wi ri > 0 （4.3） i =1D(∑ wi ri ) = D(∑ wi [ri + bi f + ei ]i =1 i =1 nnn=D(∑ wi bi f )i =1=D( f )(∑ wi bi ) 2i =1n若要D(∑ wi ri ) = 0, 则要∑ wi bi = 0i =1 i =1nn4.3.3 套利定价模型假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风 险利率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资 产，这样构造一个自融资组合。设无风险利率为l ，两个资产是资产i和资产，在因子 j 0 模型的假定下，套利组合的收益为（忽略残差）当 根据条件（2）， w(bi b j ) + b j = 0，即 bj w = 时,rp 无风险 bi b j严格证明命题4.1 ：假设n种资产其收益率m个因子决定 （m<n），即若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0rp = bj bi b j(ri rj ) + rj λ0 =0,ri = ri +∑bj =1mijfj其中，i=1,2,…,n ，j=1,2,…,m，则rp = w ( ri + bi f ) + (1 w )( r j + b j f ) 1 × λ 0 = [ w ( ri r j ) + r j λ 0 ] + [ w ( bi b j ) + b j ] fri λ0 rj λ0 = bi bjλ1ri = λ 0 +λ0 , λ1 ,..., λ j为常数∑bj =1mijλjri = λ0 + λ1bi证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资 且无风险的组合，即wi满足下列条件零投资∑ w =wi =1 inT1=0（4.4）如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投 资、无风险的组合必然是无收益的，从而只 要（4.4）和（4.5）成立，则蕴含(followed)又由于非零向量1,b1,b2,…,bm线性无关，则 r 必定落在由1,b1,b2,…,bm张成的向量空间Rm+1中，

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