数理金融学第4章ROSS套利定价模型(3)

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确，应该考虑增加因子或者其他措施。非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi f + ei , a j + b j f + e j )= bi b jσ 2 f单因子模型的优点1. 单因子模型能够大大简化我们在均值-方差 分析中的估计量和计算量。假定分析人员需 要分析n种股票，则均值－方差模型：n个期望收益，n个方差， (n2-n)/2个协方差 单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残 2 差 σ ei ，一个因子f方差 σ 2 ，共3n＋1个估计值。 f 若n＝50，前者为1325，后者为151。单因子模型具有两个重要的性质2. 风险的分散化分散化导致因子风险的平均化 分散化缩小非因子风险假设残差有界，即2 σ ei ≤ s 2且组合p高度分散化，即wi充分小，则对于 资产i成立wi ≤ ε / n1 n2limσ p2 = lim D(∑wi (ai + bi f + ei ))n→∞ n→∞ i=1n则有 从而σ ep 2 ≤∑εi =1n2 2= limbp2σ f 2 +σep2n→∞2 2 其中，bp = ∑ wi bi，σ ep = ∑ wi2σ ei i =1 i =1 n n1 s = ε 2s2 nlimσ p2 = limbp2σ f 2 +σep2 = bp2σ f 2n→∞ n→∞4.2.2 多因子模型单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将 资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个 因子相关，这些因子如利率变化，GDP增 长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。两因子模型若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值ri = ai + bi1 f1 + bi 2 f 2其回报率的方差1 2证券i对因子1的敏感度ri = ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei其 中 ， E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , e j ) = 02 σ i2 = bi2σ 2 + bi22σ 2 + 2bi1bi 2 cov( f1 , f 2 ) + σ ei 1 f f对于证券i和j，其协方差为单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei ,a j + b j1 f1 + b j 2 f 2 + e j )= bi1b j1σ 21 + bi 2b j 2σ 2 2 + (bi1b j 2 + bi 2b j1 ) cov( f1 , f 2 ) f fcov(ei , f1 ) = 0, cov(ei , f 2 ) = 0多因子模型两因子模型同样具有单因子模型的重 要优点：有关资产组合有效边界的估计和计算量大 大减少（但比单因子增加），若要计算均 方有效边界，需要n个期望收益，n个bi1， n个bi2， n个残差，2 个因子f方差，1个因子间的协方差，共4n＋3 个估计值。4.3 套利定价理论（APT）定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种 或者多种资产的多头或空头，从而存在不 承担风险的情况下锁定一个高于无风险利 率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！对于n种证券相关的m（m<n)个因子，证券i的 收益可以表示为ri = a +∑bj =1mijf j + ei其中，i = 1,..., n; j = 1,..., m两种套利方法：

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