东北大学2011年数学建模论文解答解读(2)

用google地图中的点在屏幕上的坐标得到在题目描述路段的道路曲线上的 点的坐标并将通过比例尺转化为横纵坐标都为m的点设为（xi,yi）。以水平东西 方向为x轴，以水平南北方向为y轴建立直角坐标系。在（xi,yi）中对事故发生 路段着重取点增大取点的密集程度，提高准确性。对取得的一组点（xi,yi）中的事 故发生路段的点设为x∈[xs,xe]，设其中有若干组点进行Hermite插值，得到更 加密集的一组点，使曲线更加平滑。 6. 1.2最小二乘法拟合

由于Hermite插值得到的插值多项式一阶可导但二阶不一定可导，而求曲线 的曲率时必须用到函数的二阶导数值，因此，对Hermite求得的更密集的点用最

‘? ? e si Y=F(x) X0 lj v0 a’ L k Rj 小二乘法进行拟合，拟合成一个多项式函数，设用最小二乘法拟合求得弯道曲线 的方程为y=f(x)，（x∈[xs,xe]）并求得汽车在(xs,ys)处入弯。 6.2公路弯道设计合理性分析

公路设计的合理性可由入弯不发生侧滑的最大速度衡量，即容许通过该路段 不发生事故车辆的最大速度。通过动力学理论分析可求得此最大速度。 6.2.1弯道曲线中的曲率半径

道路曲线的方程为y=f(x)，则曲线上点的的曲率半径为:

（1?y） （1） R\'\'y在点(xs,ys)的曲率半径Rs为Rs=R(xs)

6.2.2汽车不发生侧滑时速度条件模型

轮胎在路而巨出现横向滑移时的附着系数称为横滑附着系数设其为?。汽 车通过弯道时，在未使用制动的条件下，不出现侧滑的条件是离心力不大于横向 附着力与汽车重力在路面平行方向的分力之和。汽车离心力可表示为

3\'22v2F?m（2）

R公示中m为汽车的质量，v为汽车过弯的速度。汽车的横向附着力可表示为:

F1??mg（3）

由于公路设计时路面都不会是平整的，路面与水平面之间都有很小的夹角，设路面与水平面之间的夹角即路面超高为e，因此重力在路面方向的分力为:

F1?mg sine（4）

在e很小时由于limsine?1，即sine=e则可以用e近似的代替sine，即上式可化为：

e?0e（5） F1?mg（ ?e）要使汽车入弯后不出现侧滑的情况须有:

F?F1?F2（6）

由以上各式可解得： （7） v2?Rg（??e）6.2.3刹车之后速度变化模型

刹车之后，发动机停止工作不做功，汽车依靠原有动能在路上滑行，摩擦力 最大可取滑动摩擦力?mg，不发生侧滑时取滚动摩拣力为?mg。设滑到（xi,yi）处 时汽车速度为vi，在此处弯道的曲率半径Ri

由刹车后汽车动能转化为内能。从（xs,ys）处入弯到达（xi,yi）处汽车划过距离 由弧长公示可得:

xiSi?xs?1?[f\'(x)]2dx （8）

汽车行驶到xi处时的速度vi满足关系式

112mvs?mvi2??mgsi（9） 22判断公路设计是否合理即判断在弯道曲线上的每一点上是否都有 （10） vi2?Rig（??e）由以上各式带入化简可得:

2（11） vs?2?gsi?Rig（??e）在曲线的每一点都要满足上式，因此应满足:

2vs?min[2?gsi?Rig（??e）]（12）

将上式作为评判公路是否合理的标准。 6.3缓和曲线道路改善模型

在不改变弯道形状的情况下，使道路状态改善，在弯道上发生事故的事敌率 降低，只有降低入弯时的速度才能达到目的，在6.2得出的结论基础上，在坡道 和弯道间加入缓和曲线，缓和曲线能提醒司机前方有弯道，提醒司机减速。 经分析该段道路容易发生事故的主要原因就是司机不能提前知道事故路段 是一个s型弯道，即弯道曲线的曲率半径变化过快，车通过在坡道和弯适曲线 之间加入一条缓和曲线可解决此问题。缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大 圆曲线与小圆曲线之间过渡的线型，是道路平面线型要素之一。在加入缓和曲线 后，汽车行驶至缓和曲线范围时开始减速。让司机有足够的时间调整车头方向， 使汽车平滑入弯。

6.3,1缓和曲线的曲线方程模型

此处的缓和曲线应为在一条直线与圆曲线之间的过渡，在理想状态下此缓和 曲线应满足如下性质:

1.在缓和曲线开始处，曲率半径应与直线曲率半径一致，均为无穷大口 2.在缓和曲线结束处，曲率半径应与弯道曲线的曲率半径相同

3.以缓和曲线开始处为参照点，在曲线任意点处曲线的曲率半径都与对应的曲线 长成反比例。

由以上性质建立缓和曲线方程模型，设缓和曲线从x=x。处开始至x=xs处 结束，xj为缓和曲线上任意一点，此点距x0处跟离为lj，曲率半径为Rj。 缓和曲线总长为L。在曲线任意点曲率半径与对应曲线长成反比例:

Rj?1（13） lj为使上式满足当lj=0时Rj??，当lj=L时Rj=Rs.必须找出一个待定的 比例系数，为推导上的便利，由于rj和lj都为正数因此选比例系数为A2。 上式可化为:

A2（14） Rj?lj此公式即为缓和曲线公式，满足此条件的螺旋线称为霍尔布鲁克螺线(回旋线)。 用此作为公路直线段与弯道段的过渡曲线可满足平滑过渡的要求。 6.3.2霍尔布鲁克螺线(回旋线)中参数的确定

以上推导得出的霍尔布鲁克螺线方程中缓和曲线总长为L是未知量，即缓和 曲线的初始位置x0是未知的。霍尔布鲁克螺线的参数A2未知，可根据6.2中拟 合出的缓和曲线终点的曲率半径等于弯道起始点的曲率半径得出A2与L的函数

关系如下:

A2?RsL（15）

分析上述函数式，必须引入其他因素来确定缓和曲线长度的值L从而确定出螺线中的参数A2。缓和曲线的长度应尽可能的小，从而降低修改公路的成本，

缓和曲线的最小长度可综合旅客过弯时的舒适程度和缓和曲线段行驶时间长短 确定。

(1)根据旅客的舒适程度确定L

旅客的舒适程度是有离心加速度的变化率决定的，设在缓和曲线上行驶的离 心加速度变化率为a’，进入弯道时的离心加速度为a，缓和曲线上行驶平均速度 为v0，缓和曲线上行驶的时间为t，则:

2avs（16） a??tRst\'Lmin?v0t（17）

综合确定a的取值

2vsv0（18） Lmin?Rsa\'2vsv0这A的取值即可确定：A?

a\'’

}2)行驶时间不宜过短确定L

缓和曲线上行驶的时间为t，缓和曲线上行驶平均速度为v。，则有Lmin=v0t， 由此可得出螺线参数A的取值:

A?RsV0t（19）

综合以上两点，可由（1）先计算出Lmin的值，再由（2）式条件调整Lmin的大小， 达到最优解决问题的目的。

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