【知识要点】
第 五 讲
构造等腰直角三角形与一次函数构造1．专题研究：等腰直角三角形（45°角）在坐标系中的运用（45°角的存在性问题） 原理：45°
等腰直角三角形 必有全等
线段转化 已知两点坐标，求第三点
的坐标
两点求解析式
求与其它直线（ x 轴、 y 轴）交点的坐标. 2．研究与等腰直角有关的定值、定点、定角问题.
【新知讲授】
例一、在直角坐标系中，等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC.
（1）如图，A 点的坐标为（-4，-2），C 点的坐标为（2，2），求 OD 的长；
y （2）如图，A 点的坐标为（5，8），B 点的坐标为（2，-5），AC、BC 分别交 y 轴于 D、E 两点，求△CDE 的面积.
y D
C
O
x
E
B
第 1 页
A
1
例二、如图，在平面直角坐标系中，直线 y ? x ? 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第
2 二象限内作正方形 ABCD. （1）直接写出点 C 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ； （2）你能否在 x 轴上找一点 M，在 y 轴上找一点 N，使得四边形 CDMN 的周长最小？若能，请求出 M 点
、N 点的坐标；若不能，说明理由.
例三、如图，直线 y ? x ? 8 与两坐标轴交于 A、B 两点，将直线 AB 沿 y 轴翻折得到直线 AC.
（1）直接写出直线 AC 的解析式为 ；
y （2）P 为线段 AB 上的一个动点，Q 为线段 AC 上一点，且∠POQ=45°.
①若 P 点的坐标为（-2，6），求 Q 点的坐标；
A P
B O
②设 P 点的横坐标为a ，Q 点的横坐标为b ，请求b 与a 的函数关系式.
y A P
B
O
第 2 页
Q
C
Q
C
x
x
例四、在直角坐标系中，O 是坐标原点，直线 OA、OB 都经过第一象限，且满足∠AOB=45°，设直线
OA 的解析式为 y ? kx ，直线 OB 的解析式为 y ? mx . （1）如图 1，当∠BO x =30°时，求直线 OB 解析式；
x
（2）如图 2，当k =2 时，请求出直线 OB 解析式；
x
（3）试求m 与k 之间的函数关系式.
x
第 3 页
例五、如图，直线 y ? ? x ?1交两轴于 A、B 两点，点 P 在 x 轴上，且∠ABP=45°，求点 P 的坐标.
1
3 y
例六、如图，直线 y ? ?x ? 6 与 x 、 y 轴交于 A、B 两点，P 为线段 OB 上的一点，以 P 为直角顶点 AP
为腰作等腰 Rt△PAC，连接 CB 并延长交 x 轴于点 D.当 P 点在 y 轴上运动时（不包括 O 点），点
D 的位置是否发生变化？若不变，求 D 点的坐标；若改变，请说明理由.
y
C
B P
D O A 例七、如图，直线 y ? ?x ? 6 与 x 、 y 轴交于 A、B 两点，P 为线段 OA 上的一点，以 B 为直角顶点 BP
为腰作等腰 Rt△BPC，连接 AC 交 OB 于点 D.当 P 点在线段 OA 上运动时（不包括 A 点），探索： OD
的值是否发生变化？
y B
C
D O
P
A
第 4 页
x
AP
x
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