第1讲 函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查,主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大.
热点一 函数的性质及应用
1.单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 2.奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
(2)在公共定义域内:
①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数; ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0. (4)若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).
(5)图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称. 3.周期性
定义:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足f(a+x)=
f(x)(a≠0),则其一个周期T=|a|.
常见结论:
(1)若f(x+a)=-f(x),则函数f(x)的最小正周期为2|a|,a≠0. (2)若f(x+a)=
1
,则函数f(x)的最小正周期为2|a|,a≠0. f?x?
(3)若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=
a+b2
对称.
1
?π?2cos?-πx?+?x+e??2?
例1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f(x)=的最大值为M,2
x+e2
最小值为N,则(M+N-1)A.1 B.2 C.2答案 A
2 018
2 018
的值为( )
D.3
2 018
?π?2cos?-πx?+?x+e??2?
解析 由已知x∈R,f(x)= 2
x+e2
sin πx+x+e+2exsin πx+2ex==+1,
x2+e2x2+e2sin πx+2ex令g(x)=,易知g(x)为奇函数,
x2+e2
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0,
2
2
M+N=f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2,(M+N-1)2 018=1,故选A.
(2)(2018·上饶模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且x≥0时恒有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=e-1,则f(-2 017)+f(2 018)=________. 答案 1-e
解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于原点对称, 又定义域为R,所以函数y=f(x)是奇函数,因为x≥0时恒有f(x+2)=f(x), 所以f(-2 017)+f(2 018)=-f(2 017)+f(0) =-f(1)+f(0)=-(e-1)+(e-1)=1-e.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)
??2,x≤0,跟踪演练1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)=?
?1,x>0,?
-x1
0
x
则满足f(x+1)
??x+1≤0,
解析 方法一 ①当?
??2x≤0,
B.(0,+∞) D.(-∞,0)
即x≤-1时,f(x+1)
-(x+1)
<2
-2x,
即-(x+1)<-2x, 解得x<1.
2
因此不等式的解集为(-∞,-1].
??x+1≤0,②当?
??2x>0?x+1>0,?③当?
??2x≤0,
时,不等式组无解.
即-1
-2x,解得x<0.因此不等式的解集为(-
1,0).
??x+1>0,
④当?
?2x>0,?
即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.
综上,不等式f(x+1)
??2,x≤0,方法二 ∵f(x)=?
??1,x>0,
-x
∴函数f(x)的图象如图所示.
由图可知,当x+1≤0且2x≤0时,函数f(x)为减函数,故f(x+1)
当2x<0且x+1>0时,f(2x)>1,f(x+1)=1, 满足f(x+1)
综上,不等式f(x+1)
(2)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若
f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于( )
A.-50 B.0 C.2 D.50 答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)=-f(x-1).∵f(1-x)=f(1+x), ∴-f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)=0,
3
又∵f(1-x)=f(1+x),
∴f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0. 又f(1)=2,∴f(-1)=-2,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50) =0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2. 故选C.
热点二 函数图象及应用
1.作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点. 例2 (1)(2018·枣庄模拟)函数f(x)=ln(|x|-1)+x的大致图象为( )
答案 A
解析 由题意,函数f(x)满足|x|-1>0,则x>1或x<-1,
当x>1时,f(x)=ln(x-1)+x为增函数,当x=-2时,f(-2)=ln(|-2|-1)-2=-2<0, 故选A.
(2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f(x)=e+ae与g(x)=x+ax在同一坐标系内的图象不可能是( )
x-x2
4
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