数字电路及数字系统设计(1-4)

第一章 逻辑代数基础

逻辑代数亦称布尔代数，由英国数学家George Boole于1849年创立。布尔代数是建立在二元（抽象为1和0）逻辑基础上具有与、或、非三种基本运算的逻辑代数体系。这种代数不仅广泛用于集合论、概率论和数理统计等领域，而且是数字电路分析与设计中最重要的数学工具。

1.1 概述

1.1.1 模拟信号与数字信号

现代电子技术主要涉及两种电信号：一种叫做模拟信号（Analog Signal），如图1.1.1（a）所示，电压随时间连续变化；另一种叫做数字信号（Digital Signal），如图1.1.1（b）所示，电压在时间上的变化是不连续的。电压要么处于高电平状态（H），要么处于低电平状态（L），除此之外，不会处于其它状态。所谓的状态并不是某一个固定电压值，而是一个允许的取值区间，如图1.1.1（c）所示。

本书研究对象是数字电子信号，传送这种信号的电子线路叫做数字逻辑电路，简称数字电路。数字信号有正负逻辑之分，若将高电平状态定义为1，低电平状态定义为0，这样的数字信号称为正逻辑信号；若反过来定义称为负逻辑信号。值得注意的是，这里的1和0是两种状态的抽象表示，没有大小之分。绝大多数数字电路采用正逻辑信号，以后不特别声明，数字信号指的都是正逻辑信号。

说明：电子计算机内部存储、传输和处理的信号就是数字信号。例如某计算机的数据总线（Data BUS）由32根单线并列组成，每根单线的电平状态1和0定义为二进制数的1和0，且各单线的权重依次为20，21，…，231，那么该数据总线能传输32位的二进制数。

1.1.2 进制转换与十进制数的编码

一、十进制与二进制的互换

1、二进制数的定义及一些特殊的数 ① 二进制数的定义：( N )2 = k n2 n +k n-12 n-1 +……+k121+k020 +k-12-1 +……+k-m2-m，ki为0或1。

1

② 20，21，……，210，211，212，213；这些十进制数是1，2，……，1024，2048，4096，8192； ③ 2 n = (100……0)2 ，其中1后面有n个0； ④ 2 n -1= (11……1)2 ，其中有n个1； ⑤ 2 -n = (0.00……01)2 ，其中小数点之后有n-1个0； ⑥ 1-2 -n = (0.11……1)2 ，其中小数点之后有n个1。 2、2的整幂加减拼凑法

对于接近2 n的十进制数化为二进制数，采用2的整幂加减拼凑法进行口算简明快捷。后面介绍的“除权取商法”和“减权取1法”也可结合使用之。例如：将十进制数135视为128 ( 27 )加7，则其结果为1后面有7个0的二进制数再加上 (111)2 ，所以135 = (10000111)2 。将十进制数2034视为2047 (211 -1) 减13，则其结果为有11个1的二进制数再减去 (1101)2 ，所以2034 = (11111110010)2 。

3、除权取商法

用十六进制数第n位的权重16 n去除十进制数，其商为十六进制数第n位上的数字；将其余数再用16 n -1去除，所得商为十六进制数第n-1位上的数字；??；重复这样的运算步骤，直到容易看出某一步余数的二进制数为止。最后将每一次的商和最后一步的余数按权重拼成一个二进制数。

[例1.1.1] 将十进制数87，969，2393分别化为二进制数。

解：①因为87除以16商5余7，所以87= (101 0111)2 。括号中插入一个空以方便读者理解。 ②969÷162 =3??201 → (11)2???201 ，前者为商，后者为余数，以下同。 201÷16 =12??9 → (1100)2?? (1001)2 ∴969 = (11 1100 1001)2

③2393÷162 =13??65 → (1101)2?? (1000001)2 ，余数65的二进制数用口算得到。 ∴2393= (1101 01000001)2 ，注意二进制数(1000001)2 前必须添一个0，使其达到8位，因为前段4位数字（1101）的权重为162 （即28）。

4、减权取1法

对于较大的十进制数化为二进制数可采用“减权取1法”。该方法是：用十进制数减去小于该数的最大的2 i，将其差再减去小于此差数的最大的2 j，??，重复这样的运算步骤，直到容易看出某一步差数的二进制数为止。最后将2 i、2 j、??，以及最后这一步差数的二进制数按权重拼成一个二进制数。

[例1.1.2] 将十进制数2169，10508化为二进制数。

解：

10508

－ 8192 (213) 2169 2316

－ 2048 (211) － 2048 (211)

121 (1111001)2 这一步口算 268 (100001100)2 这一步口算

∴2169 = (100001111001)2 ∴10508 = (10100100001100)2

2

5、二进制数化为十进制数

从二进制整数的最低位起，将二进制数视为十六进制数，即每4位分为一段，然后按十六进制数的权重展开求和。

[例1.1.3] 将二进制数(110001.10111)2 化为十进制数。

解：(110001.10111)2 = (110 0011 0111)2 /2 5 = (6×16 2+3×16+7) /32 =1591/32 = 49.71875

二、二进制的数学意义

将抽象的二进制数应用于具体的实例之中，是对二进制的数学意义最生动的诠释。 1、两个古典数学问题

①相传古代印度国王舍汗要褒奖国际象棋发明者达依尔，问他需要什么。达依尔回答说：“国王只要在国际象棋棋盘（8×8格）的第一格上放1粒麦子，第二格上放2粒麦子，第三格上放4粒麦子，第四格上放8粒麦子，按此规律一直放满棋盘的最后一格，我心足矣。” ??。

根据二进制数的定义，将棋盘上的麦子数用二进制数表示之应为64个1，那么麦子总数就是264-1（＞1016）。这是一个惊人的天文数字，看来达依尔是在戏弄国王。

②“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

根据二进制数的定义，将前n日所得用二进制数表示之，该数应为小数点之后有n个1，其总和为1-2 -n 。所以2 –1 +2 –2 +?+2 – n = (0.11?1)2 <1总是成立的。

2、二进制与含权开关量

图1.1.2（a）是由8个开关和8个电容器组成的电路，图1.1.2（b）是由8个开关和8个电阻组成的电路。其中电容器的取值为Ci = 2 i×1μF（i = 0，1，?，7），电阻的取值为R j = 2 j×10Ω（j = 0，1，?，7）。这是一种二进制含权电容或电阻电路，在图1.1.2（a）中，用“1”表示开关Ki处于ON状态，用“0”表示开关Ki处于OFF状态；在图1.1.2（b）中，用“1”表示开关K j处于OFF状态，用“0”表示开关Kj处于ON状态。于是8个开关的每种组合状态对应于一个8位二进制数，所以电路取值为0～255之间的任一整数。

[例1.1.4] 将电容CAB的值设置为168μF。将电阻R AB的值设置为2500Ω。

解：①因为168= (10101000)2，所以在图1.1.2（a）所示的电路中，将开关K7、K5、K3闭合，其余5个开关断开。

②因为250= (11111010)2，所以在图1.1.2（b）所示的电路中，将开关K2、K0闭合，其余6个开关断开。

1.1.3 十进制数的编码

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十进制数的每一位由0～9十个数字组成，在数字逻辑系统中，1位十进制数要用4位二进制数表示，即用二进制数对十进制数进行编码，这样的代码简称BCD（Binary Coded Decimal）码。表1.1.1是几种常用的BCD码，其中8421BCD码是最常用的一种十进制编码。

4位二进制数共有24个代码，除了对十进制数的编码外还有6个伪码，不同的BCD码伴有不同的伪码。在计算机中十进制数的运算是以BCD码进行的，一旦结果产生伪码就要对其进行修正处理。例如，当用8421BCD码表示的两个十进制数进行相加，若某位的和出现伪码（即大于9）或者该位向高位产生了进位，则该位的和还要加6进行修正；当用8421BCD码表示的两个十进制数进行相减，若某位向高位产生了借位，则该位的差还要减6进行修正。

表1.1.1 常用BCD码

十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 编码规则 8421码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 权8421 2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 权 2421 余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 8421码 + (11)2

1.2 逻辑代数中的基本运算及基本公式

1.2.1 逻辑函数

图1.2.1是某数字逻辑电路，输入信号A1，A2，?，An 叫做逻辑变量，输出信号Y 叫做逻辑函数，它们的取值为逻辑值1或0。显然输出信号的变化是受输入信号的影响，或者说输出信号是关于输入信号的函数，即存在逻辑函数式：

Y = f ( A1，A2，?，An ) 1.2.1

逻辑函数的另一种表示是逻辑真值表，真值表的一行称为一个状态行，该行的内容是若干个变量的一组逻辑值和由此决定的函数值，n个变量的逻辑真值表共有2n个状态 行。逻辑函数式和逻辑真值表可以相互转换。

1.2.2 基本运算及基本公式

在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的逻辑运算，其它逻辑运算是这三种基本运算的复

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合。表1.2.1是逻辑代数中的常见运算，其中列出了每种运算所对应的电路符号。表1.2.2是逻辑代数的基本公式，表1.2.3是逻辑代数的常用公式。

一、与运算

与运算又称逻辑乘。由表1.2.2的第1、2行左边可知“信号0封锁与门，信号1开放与门”。何谓门？门者开关也。这句话的意思是：一旦信号0打入与门，该与门的输出即为0，其它输入信号就不起作用了，相当于这些信号被阻止了；信号1打入与门，该与门的输出取决于其它输入信号，相当于这些输入信号顺利地通过了与门。

二、或运算

或运算又称逻辑加。由表1.2.2的第1、2行右边可知“信号1封锁或门，信号0开放或门”。

三、非运算

非运算是求逻辑变量的相反状态，常常也称为逻辑取反。

四、异或运算

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